§ 40. Уравнение состояния идеального газа
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
1. В сосуде находится 12 • 10 24 молекул водяного пара. Чему равно количество вещества в сосуде?
2. Сколько молекул содержится:
а) в 5 моль воды? б) в 10 моль аргона?
3. Во сколько раз число молекул, содержащихся в 4 моль кислорода, больше, чем в 1 моль неона?
4. Чему равна масса:
а) 20 моль азота? б) 2 моль ртути? в) 100 моль льда?
а) в 3 кг свинца? б) в алюминиевом кубике с длиной ребра 5 см? в) в 10 л воды?
6. Сколько молекул содержится:
а) в 1,8 г воды? б) в 500 г кислорода? в) в 1 кг серы?
7. Чему равна масса атома:
а) кремния? б) йода? в) золота?
8. Чему равна масса:
а) 5 • 10 24 молекул воды? б) 6 • 10 25 молекул меди? в) 2 • 10 26 молекул ртути?
а) Чему равна молярная масса аммиака?
б) Чему равна масса молекулы аммиака?
в) Чему равна масса газа в баллоне?
г) Чему равно число молекул аммиака в баллоне?
11. Чему равно количество вещества:
а) в газе объёмом 20 л при давлении 150 кПа и температуре 300 К?
б) в газе объёмом 100 см 3 при давлении 1 МПа и температуре 27 °С?
12. Чему равно давление:
а) воздуха массой 0,29 кг, находящегося в баллоне объёмом 50 л при 27 °С?
б) кислорода массой 0,2 кг, содержащегося в сосуде объёмом 20 л при температуре 30 °С?
13. Чему равна температура:
а) углекислого газа массой 2 кг в баллоне вместимостью 0,04 м 3 при давлении 3 МПа?
б) азота массой 2,8 г и объёмом 500 см 3 при давлении 400 кПа?
§ 40. Уравнение состояния идеального газа
1. В сосуде находится 12 • 10 24 молекул водяного пара. Чему равно количество вещества в сосуде?
2. Сколько молекул содержится:
а) в 5 моль воды? б) в 10 моль аргона?
3. Во сколько раз число молекул, содержащихся в 4 моль кислорода, больше, чем в 1 моль неона?
4. Чему равна масса:
а) 20 моль азота? б) 2 моль ртути? в) 100 моль льда?
а) в 3 кг свинца? б) в алюминиевом кубике с длиной ребра 5 см? в) в 10 л воды?
6. Сколько молекул содержится:
а) в 1,8 г воды? б) в 500 г кислорода? в) в 1 кг серы?
7. Чему равна масса атома:
а) кремния? б) йода? в) золота?
8. Чему равна масса:
а) 5 • 10 24 молекул воды? б) 6 • 10 25 молекул меди? в) 2 • 10 26 молекул ртути?
а) Чему равна молярная масса аммиака?
б) Чему равна масса молекулы аммиака?
в) Чему равна масса газа в баллоне?
г) Чему равно число молекул аммиака в баллоне?
11. Чему равно количество вещества:
а) в газе объёмом 20 л при давлении 150 кПа и температуре 300 К?
б) в газе объёмом 100 см 3 при давлении 1 МПа и температуре 27 °С?
12. Чему равно давление:
а) воздуха массой 0,29 кг, находящегося в баллоне объёмом 50 л при 27 °С?
б) кислорода массой 0,2 кг, содержащегося в сосуде объёмом 20 л при температуре 30 °С?
13. Чему равна температура:
а) углекислого газа массой 2 кг в баллоне вместимостью 0,04 м 3 при давлении 3 МПа?
б) азота массой 2,8 г и объёмом 500 см 3 при давлении 400 кПа?
Чему равно число молекул в капельке тумана
1. Количество молекул в заданной массе известного вещества можно определить, воспользовавшись уравнением
. (1)
1.1.9. Сколько молекул, содержащихся в стакане воды H2O.
1. Примем массу воды, содержащейся в стакане воды равной m = 0,2 кг, молярную массу m = 18 × 10 3 кг/моль и запишем уравнение для определения молярной массы в виде
. (1)
1.1.10. Определить массу: атома водорода Н, молекулы кислорода О2, атома урана U.
1. Молярные массы заданных веществ равны: m (Н) = 1 × 10 3 кг/моль, m (О2) = 16 × 10 3кг/моль, m (U) = 0,238 кг/моль.
2. Запишем уравнение молярной массы вещества
. (1)
2. Воспользовавшись уравнением (1) определим массы атомов и молекул
,
. (2)
1.1.11. Определите массу одной молекулы: азота (N2), аммиака (NH3), ацетилена (С2Н2), спирта (С2Н5ОН) и ацетона (С3Н6О).
1.1.12. Используя постоянную Авогадро, определить атомную единицу массы (а.е.м.).
(1)
1.1.13. Оцените диаметр атомов ртути, считая, что они соприкасаются друг с другом.
2. Считая молекулу сферической частицей, определим её диаметр
, (1)
3. Объём одного моля и одной молекулы определяется в этом случае соотношениями
. (2)
1.1.14. Один моль каждого из газов гелия, водорода, азота и кислорода находится при нормальных условиях. Определить концентрацию молекул n, среднее расстояние а > между центрами молекул. Сравнить величину а > с диаметром молекулы.
. (1)
2. Найдём расстояние между центрами молекул, воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи
. (2)
. (3)
1. Концентрация молекул применительно к одному молю вещества может быть записана так
. (1)
Уравнение состояния неидеального газа
Простая и удобная модель идеального газа применима в основном к разреженным газам, что соответствует малой плотности вещества. При больших давлениях и низких температурах возникают значительные отклонения от уравнения Клапейрона-Менделеева (2.8), что указывает на несоответствие модели идеального газа его реальному состоянию. Это означает, что уравнение состояния следует видоизменить, причем в его новом виде надо учесть отличие реальных молекул газа от модели невзаимодействующих материальных точек.
Прежде всего нужно учесть, что молекулы занимают вполне определенный объем в пространстве. Следовательно, область пространства, доступная для движения реальных частиц газа, не равна геометрическому объему, занимаемому газом, а меньше его на величину собственного объема молекул. Это обстоятельство легко учесть, если вместо геометрического объема теперь писать V ‑ b, где b — константа, характеризующая объем, занимаемый молекулами данного газа.
Далее необходимо заметить, что между реальными молекулами, имеющими сложную внутреннюю структуру, существуют силы взаимодействия. Эти силы имеют характер притяжения на сравнительно больших расстояниях и отталкивания на малых расстояниях. Вообще говоря, эти силы проявляются лишь при достаточном сближении молекул, поэтому в разреженных газах их можно не учитывать. Однако при низких температурах, когда энергия теплового движения молекул мала, и при больших давлениях, когда плотность газа возрастает, силы взаимодействия между молекулами начинают играть значительную роль. Макроскопически они проявляются в реальном газе как внутреннее давление, дополнительное к тому, которое обусловлено столкновениями молекул. Это дополнительное давление обусловлено взаимодействием молекул. Поскольку во взаимодействии принимают участие две группы молекул, число каждой из которых пропорционально плотности газа, то поправка к давлению пропорциональна квадрату плотности, то есть обратна пропорциональна второй степени геометрического объема, занимаемого газом. Таким образом, видоизмененное уравнение состояния принимает вид:
, (2.45)
где a — другая константа, специфическая для данного газа и учитывающая характер сил взаимодействия между его молекулами. Уравнение (2.45) носит название уравнения Ван-дер-Ваальса. Когда объем газа становится достаточно большим, т. е., газ разрежен, поправками, связанными с отклонениями от идеальности, можно пренебречь и уравнение Ван-дер-Ваальса (2.45) переходит в уравнение Клапейрона-Менделеева(2.8).
Уравнение Ван-дер-Ваальса по сравнению с уравнением состояния идеального газа содержит ряд особенностей, отвечающих качественно новому поведению реального газа в области низких температур и больших плотностей. Как можно видеть из выражения (2.45), уравнение Ван-дер-Ваальса есть уравнение третьей степени относительно объема. Это означает, что при фиксированных температуре и давлении состояние газа может характеризоваться либо одним, либо тремя значениями V. На рис. изображены изотермы, соответствующие уравнению (2.45). При высоких температурах изотермы представляют собой кривые, характерные для идеального газа. При понижении температуры до определенной величины, которая называется критической, появляется характерный перегиб, ниже которого каждому значению давления отвечают три значения объема газа. Поэтому при данном давлении вещество может находиться в одном из трех возможных состояний или фаз. Состояние с минимальным объемом отвечает большей плотности вещества та. соответствует конденсации газа в жидкое состояние — жидкой фазе.
Состоянию с максимально возможным объемом отвечает газообразное состояние вещества. Промежуточное значение объема соответствует неустойчивому состоянию — его называют переохлажденный пар или перегретая жидкость. В этой области небольшие изменения давления вызывают немедленный переход вещества в одно из стабильных состояний. На рис. область существования неустойчивых состояний заштрихована. Она отделяет области существования жидкой и газообразной фаз вещества. Таким образом, важным следствием уравнения состояния неидеально газа является возможность фазового перехода вещества из одного состояния в другое. Кривые на диаграммах P,V или V,T, отделяющие области существования разных фаз, — это кривые фазового равновесия. Они показывают, при каких значениях параметров вещество может существовать в одном из состояний — твердом, жидком либо газообразном.
На рис. в координатах P, Т изображена, например, фазовая диаграмма для двуокиси углерода, на которой показаны области существования всех трех возможных фаз. Критическая температура для CO2 равна 216,6 К, что составляет — 56,6 С. При обычных температурах и давлениях жидкая фаза не реализуется. В твердой фазе CO2 представляет собой сухой лед. Он потому и называется сухой, что имеет низкую температуру, но не плавится, а сразу превращается в газовую фазу.
Упражнение 11
Решение упражнений к учебнику Г.Я.Мякишева, Б.Б.Буховцева
1. Какую площадь может занять капля оливкового масла объемом 0,02 см3 при расплывании ее на поверхности воды?
2. Определите молярные массы водорода и гелия.
3. Во сколько раз число атомов в углероде массой 12 кг превышает число молекул в кислороде массой 16 кг?
4. Каково количество вещества (в молях), содержащегося в воде массой 1 г?
5. Молярная масса азота равна 0,028 кг/моль. Чему равна масса молекулы азота?
6. Определите число атомов в меди объемом 1 м3. Молярная масса меди М = 0,0635 кг/моль, ее плотность ρ = 9000 кг/м3.
7. Плотность алмаза 3500 кг/м3. Какой объем займут 1022 атомов этого вещества?
8. Под каким давлением находится газ в сосуде, если средний квадрат скорости его молекул v2 = 106 м2/с2, концентрация молекул n = 3 • 1025 м-3, масса каждой молекулы m0 = 5 • 10-26 кг?
9. В колбе объемом 1,2 л содержится 3 •1022 атомов гелия. Чему равна средняя кинетическая энергия каждого атома? Давление газа в колбе 105 Па.
10. Вычислите средний квадрат скорости движения молекул газа, если его масса m = 6 кг, объем V=4,9 м3 и давление р = 200 кПа.
Тестовые занимательные задачи по физике
Туман
С туманом у нас обычно ассоциируется что-то неясное, таинственное, обволакивающее. Лес, горы, селения, улицы городов словно растворяются в невесомой и неосязаемой среде, становятся невидимками. Огромное количество страниц в судовых журналах мореплавателей, в дневниках метеорологов и в отчетах исследователей отведено описанию туманов. Они оказывают существенное влияние на природные явления, на производственные процессы, на работу транспорта и самочувствие людей.
1. Что такое туман?
Алиса. Туман – это скопление капелек воды, возникающее при определенных условиях в непосредственной близости от поверхности земли или воды.
Виктор. Туман может состоять и из мелких ледяных кристалликов. Он бывает и летом и зимой. Туман стелется над самой поверхностью, образуя слой толщиной до десятков метров (иногда и до сотен). Он ограничивает горизонтальную видимость от километра (слабый туман) до нескольких метров (сильный туман).
Борис. Туманом в повседневной жизни обычно называют воздух, в котором взвешено очень большое количество мельчайших капелек воды. При этом метеорологи добавляют, что речь идет лишь о приземном слое воздуха, где наблюдается переход водяного пара в жидкое состояние, в результате чего уменьшается прозрачность воздуха и ухудшается видимость наземных предметов.
2. Чем туман отличается от облака?
Борис. По-моему, это два различных понятия.
Виктор. Ничем не отличается. Например, в горном районе каждое облако, окутывающее наблюдателя, представляется ему туманом, а со дна долины этот туман может выглядеть как слоистое облако. принципиальных различий между туманом и облаком нет. Это очень образно и поразительно точно передал С.Есенин: «Месяц в облачном тумане водит с тучами игру».
Алиса. «Приземленность» тумана подчеркивается потому, что пелена низких облаков, закрывающая верхушки деревьев, холмов, считается уже не туманом, а слоистым облаком. Отсюда ясно, насколько условно их различие.
3. Как образуется туман?
Борис. Известно, что воздух содержит водяные пары, в наших широтах – это примерно 0,3–2,5% его массы. Чем воздух теплее, тем больше может он содержать водяного пара. Если температура понизится, то часть насыщенного пара сконденсируется и выделится в виде капелек воды.
Виктор. Если воздух из хорошо натопленной комнаты вырывается на мороз, то он резко охлаждается. Клубы пара, которые мы видим, – это множество мельчайших капелек. Количество сконденсировавшейся при этом воды в единице объема равно разности абсолютных влажностей при комнатной температуре и при температуре воздуха на улице. Чем морознее день, тем плотнее туман.
Алиса. Есть такое понятие – относительная влажность. Она показывает отношение фактического количества водяного пара к тому количеству, которое необходимо для его насыщения при данной температуре. Степень близости воздуха к насыщению говорит о его сухости или сырости. Для образования тумана кроме насыщенного водяного пара и быстрого понижения температуры необходимо еще одно условие. В воздухе должно содержаться достаточное количество взвешенных или ионизированных частиц. При относительной влажности воздуха, близкой к 100%, на этих частичках, или пылинках, начинается конденсация. Обычно в кубическом сантиметре воздуха содержится от сотен до сотен тысяч таких микроскопических частиц, которые называют ядрами конденсации. Особенно много их в больших индустриальных центрах, и вероятность образования тумана там значительно выше, чем на окраинах.
4. Что такое насыщенный пар?
Алиса. Если пар содержит достаточное количество капелек в единице объема, то пар называют насыщенным.
Борис. Чтобы говорить о насыщенном паре, рассмотрим, что происходит на поверхности воды. Внешне поверхность выглядит спокойной, но в действительности более быстрые молекулы, преодолев притяжение со стороны других молекул, выскакивают из воды и образуют пар над водной поверхностью. Мы называем это испарением воды. Молекулы водяного пара сталкиваются друг с другом и с молекулами воздуха, часть молекул пара переходит обратно в жидкость. Это конденсация пара. При данной температуре устанавливается своеобразное равновесие (его называют динамическим), когда число молекул воды, покидающих за единицу времени жидкость, в среднем равно числу молекул воды, возвращающихся за то же время обратно. Можно сказать, что процессы испарения и конденсации взаимно компенсируются. Водяной пар, находящийся в этом случае над поверхностью воды, называют насыщенным.
Виктор. Хочу добавить, что существует понятие точка росы. Это такая температура, при которой пар, содержащийся в воздухе, оказывается насыщенным.
5. Когда и где образуется туман?
Виктор. Все знают, что туман часто образуется в низинах, оврагах, болотистых местах, где воздух достаточно влажный. Возникает он и над поверхностью воды (морские, озерные, речные туманы). Туман может образоваться утром, но может и вечером – после захода солнца. Иногда туман не прекращается целые сутки.
Алиса. Кроме водяных туманов, бывают еще ледяные. Они состоят из мельчайших ледяных кристалликов, имеющих форму столбиков. Число кристаллов в кубическом сантиметре ледяного тумана обычно меньше ста. Поэтому ледяные туманы, как правило, не бывают густыми. При умеренных морозах обычно образуются капельно-жидкие переохлажденные туманы. При температуре ниже –20 °С преобладают ледяные туманы. Они хорошо знакомы жителям Сибири и Аляски.
Борис. Туманы часто наблюдают жители больших городов. В Лондоне, Париже, Лос-Анджелесе, Токио слово «туман» связывают со страшным словом «смог».
6. Каков размер капелек в тумане?
Борис. Размеры капелек зависят от расстояния до земли. Чем тяжелее капельки (следовательно, больше по размеру), тем ниже они располагаются.
Виктор. Капельки различны по диаметру – примерно от 0,5 до 100 мкм. В обычном тумане диаметр водяных капелек в основном около 10 мкм.
Алиса. Если в тумане преобладают очень мелкие капельки (диаметром менее 1 мкм), то такой туман называют дымкой. Если же капли тумана относительно велики (около 100 мкм), то это так называемая морось. Количество капелек в 1 см 3 тумана – от нескольких сотен до нескольких тысяч.
7. Много ли воды в тумане?
Алиса. То, что туманы и росы – существенный источник влаги, необходимой растениям, хорошо известно крестьянам. Разумеется, они не производили расчетов, просто знали это из собственного опыта. Недаром сказка «Король Туманной горы», заканчивается так: «. И не было больше удачи этим людям. Каждое лето засуха причиняла им большой урон, хлеба и травы погибали, потому что по ночам не опускался над ними освежающий туман».
