Чему равно число пи в математике
Чтобы ответить на вопрос, чему равно число пи, необходимо вспомнить некоторые его свойства:
Несмотря на всё вышеперечисленное учёные издревле пытались вычислить значение этой константы.
История вычисления константы пи
Ещё в третьем тысячелетии до нашей эры учёные из Древнего Египта, Месопатамии, Индии и Греции замечали, что соотношение длины и диаметра окружности всегда чуть больше трёх независимо от размеров окружности.
Изучение пи в древней Европе
Увеличивая количество углов в многоугольниках, Архимед повышал точность своей оценки. Когда он дошёл до 96 углов в многоугольнике, расчётное значение длины окружности оказалось больше, чем 3+10/71, но меньше, чем 3+1/7. Тогда Архимед выбрал верхнюю границу в качестве приблизительного значения константы пи. Согласно этому предположению, число пи равно 22/7 или 3,142857, если представить его в виде десятичной дроби. То есть, Архимед приблизился к числу пи с точностью до второго знака.
Во втором веке нашей эры дело Архимеда продолжил Клавдий Птолемей. Он довёл количество углов в многоугольнике до 720 и получил приблизительное значение числа пи 377/120 или 3,14166667. Клавдию Птолемею удалось высчитать константу пи с точностью до третьей цифры после запятой.
В шестнадцатом веке нашей эры математик из Голландии Лудольф ван Цейлен потратил десять лет на удваивание углов многоугольника и высчитал константу пи с точностью до двадцати знаков после запятой. Он завещал, чтобы найденные им цифры были выбиты на его надгробной плите. А саму константу стали называть числом Лудольфа.
Изучение числа пи в древнем Китае
Наряду с европейскими математиками, число пи пытались рассчитать и в Поднебесной. В третьем веке нашей эры математик из Китая Лю Хуэй вывел алгоритм, для расчёта константы пи с любой возможной степенью точности. В основу алгоритма легла всё та же идея Архимеда. По такому алгоритму самим Лю Хуэем было высчитано приближение пи для многоугольника с 3072 углами. Оно получилось равным 3,14159. Точность возросла до пятого знака после запятой. В пятом веке нашей эры математик Цзу Чунчжи Вычислил пи с точностью до семи цифр после запятой, расположив эту константу между 3,1415926 и 3,1415927.
Число пи: от средневековья до наших дней
В связи с развитием математического анализа во втором тысячелетии нашей эры для нахождения значения числа пи стали использоваться математические ряды:
Теория вероятностей тоже внесла свой вклад в вычисление пи с помощью метода Монте-Карло и Иглы Бюффона. Но с появлением компьютеров, а также открытием преобразования Фурье, использование рядов для вычисления значения пи позволило достигать астрономической точности.
Чему равно число пи?
Если обобщить опыт предков и пересказать его простыми словами, то выяснится, что после запятой константа пи имеет бесконечное множество знаков, среди которых можно встретить абсолютно любую последовательность цифр, и которые не имеет никакой закономерности. Число пи с точностью до ста знаков после запятой будет выглядеть так:
Последнее зарегистрированное открытие, связанное с числом пи, было сделано в 2016 году. Американец Йи на пару с японцем Кондо высчитал десять триллионов цифр константы. Выучить их все, скорее всего, не удастся. Мировой рекорд по запоминанию цифр константы пи принадлежит индийскому студенту, запомнившему всего семьдесят тысяч знаков.
Сколько цифр из числа пи нужно знать зависит от требуемой точности вычислений. Держать в голове несколько сотен знаков константы пи имеет смысл только для тренировки памяти. Есть он-лайн калькуляторы, позволяющие высчитать пи с любой заданной точностью.
Как запомнить число пи?
Если же хочется держать в памяти более точное значение пи, чем выученные в школе 3,14, то на помощь придут мнемонические правила запоминания. Стишок С. Боброва из произведения «Волшебный двурог» позволяет запомнить число пи с точностью до тринадцати знаков после запятой:
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Другая разновидность мнемонических правил предлагает запоминать цифры из числа пи, сопоставляя их с количеством букв в каждом из слов стихотворения. Например:
Но многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.
Это маленькое четверостишие позволяет вспомнить до двадцати цифр числа пи после запятой.
Видео
Число Пи.
Значение числа 
(произносится «пи») — математическая константа, равная отношению
длины окружности к длине её диаметра, оно выражается бесконечной десятичной дробью.
Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — лудольфово число.
Чему равно число пи? В простых случаях хватает знать первые 3 знака (3,14). Но для более
сложных случаев и там, где нужна бОльшая точность необходимо знать больше, чем 3 цифры.
Какое число пи? Первые 1000 знаков числа пи после запятой:
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989.
В обычных условиях приблизительное значение числа пи можно вычислить следуя пунктам,
Свойства числа Пи.
дроби m/n, где m и n являются целыми числами. Из этого видно, что десятичное представление
числа пи никогда не заканчивается и оно не является периодическим.
коэффициентами. В 1882 году профессор Кёнигсбергский доказал трансцендентность числа пи, а
позднее, профессором Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил
Феликс Клейн в 1894 году.
то доказательство трансцендентности пи дало конец спору о квадратуре круга, длившемуся более
Но никто не знает, принадлежит ли 
к кольцу периодов.
Формула числа пи.
Новое доказательство решает вопрос аппроксимации таких чисел, как пи
Древние греки интересовались, можно ли приблизительно выразить иррациональные числа дробями. Доказав давнюю гипотезу Даффина-Шаффера, два математика дали исчерпывающий ответ.
Двоичная запись π бесконечна. Но бесконечное число дробей могут приближаться к этому числу со всё возрастающей точностью.
Глубокие провалы на числовой прямой не так неприступны, как могло показаться. Это одно из последствий нового значимого доказательства того, как сложные числа поддаются простым приближениям.
Доказательство разрешает задачу почти 80-летней давности, известную, как гипотеза Даффина-Шаффера. Тем самым оно даёт окончательный ответ, занимавший математиков с древних времён: при каких условиях возможно представлять иррациональные числа, длящиеся бесконечно долго – типа числа пи – простыми дробями типа 22/7? Доказательство устанавливает, что ответ на этот довольно общий вопрос обнаруживается в результате единственного вычисления.
«Существует простой критерий того, можно ли аппроксимировать практически любое число или практически ни одного числа», — сказал Джеймс Мэйнард из Оксфордского университета, соавтор доказательства, сделанного им совместно с Димитрисом Кукулопулосом из Монреальского университета.
Математики несколько десятилетий подозревали, это этот простой критерий является ключом к пониманию того, когда можно получить хорошую аппроксимацию – но не могли доказать этого. Кукулопулос и Мэйнард смогли сделать это только после того, как они переформулировали эту задачу о числах в терминах связей между точками и линиями графа – кардинальное изменение перспективы.
«Я бы сказал, они были достаточно уверенными в себе (и это, очевидно, было оправдано), чтобы пойти по избранному пути, — сказал Джеффри Ваалер из Техасского университета в Остине, приложившего руку к ранним результатам, связанным с гипотезой Даффина-Шаффера. – Прекрасная работа».
Арифметический эфир
С рациональными числами всё просто. В них входят числа для счёта предметов и все остальные числа, которые можно записать в виде дробей.
Благодаря этой способности быть записанными, рациональные числа знакомы нам лучше всего. Однако среди всех вещественных чисел рациональных на самом деле довольно мало. Большая часть чисел – иррациональные, с бесконечной десятичной записью, и их невозможно записать в виде дробей. Некоторые из них оказались достаточно важными для того, чтобы заслужить символические обозначения – пи, е, √2. Остальные нельзя даже назвать. Они повсюду, но недостижимы – словно арифметический эфир.
Возможно, поэтому, естественно будет задуматься – если мы не можем точно выразить иррациональные числа, как близко мы можем подойти к ним? Это область рационального приближения. Математики древности поняли, что неуловимое отношение длины окружности к диаметру можно неплохо приблизить при помощи дроби 22/7. Позднее математики обнаружили ещё более точное и почти такое же сжатое приближение к пи: 355/113.
«Записать пи очень сложно, — сказал Бен Грин из Оксфорда. – Люди пытались найти наиболее точное приближение к пи, и одним из распространённых способов сделать это было использование рациональных чисел».
В 1837 году математик Петер Густав Лежён Дирихле обнаружил правило, говорящее нам, насколько точно можно аппроксимировать иррациональные числа при помощи рациональных. Приближение легко найти, если не устанавливать точного значения ошибки. Но Дирихле доказал наличие чёткой взаимосвязи между дробями, иррациональными числами и разделяющими их ошибками.
«Удивительная и примечательная вещь – возможность приближённо выразить вещественное число через дробь, с ошибкой, не превышающей единицы, делённой на квадрат знаменателя», — сказал Эндрю Грэнвиль из Монреальского университета.
В рукописи 1913 года математик Сриниваса Рамануджан Айенгор использовал дробь 355/113 в качестве рациональной аппроксимации пи.
Открытие Дирихле было ограниченным заявлением по поводу рационального приближения. Оно говорит, что для любого иррационального числа вы можете найти бесконечно много приближающихся к нему дробей, если вы можете использовать в качестве знаменателя любое целое число, и вас устраивает ошибка в размере его обратного квадрата. Но что, если вам нужно, чтобы знаменатели принадлежали к некоторому (бесконечному) подмножеству целых чисел, к примеру, к множеству простых чисел, или к множеству полных квадратов? Что, если вам нужно, чтобы ошибка приближения равнялась 0,00001, или имела любое другое значение? Удастся ли вам найти бесконечно много аппроксимирующих дробей именно в таких условиях?
Гипотеза Даффина-Шаффера – попытка создать наиболее обобщённую платформу для работы с рациональными аппроксимациями. В 1941 году математики Р. Д. Даффин и А.С. Шафер представили следующий сценарий. Сначала выберем бесконечный список знаменателей. Это может быть всё, что хотите: нечётные числа, числа, делящиеся на 10, простые числа.
Потом для каждого числа в списке выберите, насколько точно вам нужно приблизить иррациональное число. Интуиция говорит нам, что если мы выберем достаточно большие ошибки, у нас будет больше возможности для аппроксимации. Если выбрать небольшой размер ошибки, это будет сложнее. «Подойдёт любая последовательность, если оставлять достаточно места», — сказал Кукулопулос.
Теперь, учитывая выбранные параметры – последовательность чисел и определённую ошибку – возникает вопрос: можно ли найти бесконечно много дробей, приближающих все иррациональные числа?
Гипотеза обеспечивает математическую функцию для оценки этого вопроса. Ваши параметры выступают в качестве входных данных. Результатом может быть один из двух вариантов. Даффин и Шаффер предположили, что два этих варианта соответствуют как раз тому, сможет ли ваша последовательность аппроксимировать практически все иррациональные числа с требуемой точностью, или практически ни одно из них («практически» упоминается потому, что для любого набора знаменателей всегда будет существовать небольшое число изолированных иррациональных чисел, которые можно или нельзя достаточно хорошо приблизить).
«Вы получаете практически всё или практически ничего. Промежуточных вариантов нет», — сказал Мэйнард.
Это было чрезвычайно общее заявление, пытающееся характеризовать аппроксимацию рациональными числами вдоль и поперёк. Критерий, предложенный Даффином и Шаффером, казался математикам правильным. Однако доказать, что в двоичном выходе функции содержится всё, что нужно для того, чтобы понять, работает ваша аппроксимация, или нет – вот это было сделать гораздо сложнее.
Двойной подсчёт
Доказательство гипотезы Даффина-Шаффера связано с тем, чтобы понять, какую пользу вы получаете с каждого из доступных вам знаменателей. Чтобы ощутить это, полезно будет рассмотреть уменьшенную версию этой задачи.
Допустим, вы хотите аппроксимировать все иррациональные числа на отрезке от 0 до 1. Представим, что в качестве знаменателей вам доступны все натуральные числа от 1 до 10. Список возможных дробей достаточно большой. Сначала 1/1, затем 1/2 и 2/2, потом 1/3, 2/3 и 3/3, и так далее, вплоть до 9/10 и 10/10. Однако пользы от них никакой.
К примеру 2/10 – то же самое, что 1/5, а 5/10 – то же самое, что 1/2, 2/4, 3/6 и 4/8. До появления гипотезы Даффина-Шаффера советский математик Александр Яковлевич Хинчин сформулировал похожую по широте гипотезу о рациональной аппроксимации. Однако его теорема не учитывала тот факт, что эквивалентные дроби нужно считать только по одному разу.
Димитрис Кукулопулос (слева) и Джеймс Мэйнард на презентации своего доказательства на конференции в Италии
«Обычно математика для первого класса не должна влиять на решение задач, — сказал Грэнвиль. – Но в данном случае, как ни удивительно, она повлияла».
Поэтому в гипотезе Даффина-Шаффера есть член, подсчитывающий количество уникальных дробей (или приведённых дробей) для каждого знаменателя. Этот член называется функцией φ Эйлера в честь её изобретателя, математика XVIII века Леонарда Эйлера. φ(10) равняется 4, поскольку между 0 и 1 существует всего четыре приведённых дроби со знаменателем 10: 1/10, 3/10, 7/10 и 9/10.
Следующий шаг – посчитать, сколько иррациональных чисел можно аппроксимировать при помощи каждой из приведённых дробей. Это зависит от того, ошибку какого размера вы готовы принять. Гипотеза Даффина-Шаффера позволяет выбирать ошибку для каждого из знаменателей. Например, для дробей со знаменателем 7 можно взять допустимую ошибку 0,02. Для знаменателя 10 можно взять ошибку 0,01.
Определив знаменатели и члены ошибок, пора ставить сети на иррациональные числа. Постройте ваши дроби на числовой прямой между 0 и 1, а ошибки нарисуйте в виде сетей, отходящих от дроби с каждой стороны. Можно сказать, что все иррациональные числа, попавшие в сети, «удовлетворительно аппроксимированы» для заданных членов. Вопрос в следующем: сколько иррациональных чисел вы поймали?
В любом интервале числовой прямой содержится бесконечное количество иррациональных чисел, поэтому точное количество пойманных иррациональных чисел написать нельзя. Вместо этого математики говорят о пропорции общего количества иррациональных чисел, пойманных каждой дробью. Они оценивают эти пропорции при помощи такой концепции, как «мера» подмножества чисел – это что-то вроде оценки количества пойманной рыбы по весу, а не по количеству.
Гипотеза Даффина-Шаффера предлагает сложить все меры подмножеств иррациональных чисел, пойманных каждой из аппроксимирующих дробей. Она представляет это число в виде большой арифметической суммы. Затем она делает своё главное предсказание: если эта сумма уходит в бесконечность, то вы аппроксимировали практически все иррациональные числа; если же она даёт лишь конечное значение, вне зависимости от того, сколько мер вы просуммировали, тогда вам не удалось аппроксимировать практически ни одного иррационального числа.
Подобный вопрос, «расходится» ли сумма до бесконечности или «сходится» к конечному значению, возникает во многих областях математики. Главное заявление гипотезы Даффина-Шаффера состоит в том, что если вы хотите понять, можете ли вы аппроксимировать почти все иррациональные числа при помощи заданного множества знаменателей и допускаемых ошибок, то вам нужно знать только одно: расходится ли бесконечная сумма мер до бесконечности, или сходится к конечному значению.
«В итоге, неважно, как вы решили оценивать аппроксимацию для каждого знаменателя, ваш успех целиком зависит только от одного: расходится ли бесконечная последовательность, или нет», — сказал Ваалер.
Построение решения
Вы можете задаться вопросом: а что, если числа, аппроксимированные одной дробью, пересекутся с числами, аппроксимированными другой? Не будем ли мы учитывать их по два раза при подсчёте мер?
Для некоторых последовательностей аппроксимации двойной подсчёт не имеет значения. Математики уже несколько десятилетий назад доказали, что эта гипотеза выполняется для последовательностей аппроксимации, состоящих из простых чисел. Но для многих других последовательностей аппроксимации двойной подсчёт представляет проблему. Поэтому математики и не могли разобраться с этой гипотезой в течение 80 лет.
Степень, до которой различные знаменатели отлавливают пересекающиеся множества иррациональных чисел, отражается в количестве простых делителей, общих для всех знаменателей. Рассмотрим числа 12 и 35. Простые делители у 12 – это 2 и 3. Простые делители у 35 – это 5 и 7. Иначе говоря, общих простых делителей у 12 и 35 нет – в итоге, множества иррациональных чисел, которые можно аппроксимировать долями со знаменателями 12 и 35 не особенно пересекаются.
А что насчёт знаменателей 12 и 20? У 20 простые делители – это 2 и 5, пересекающиеся с делителями 12. Точно так же и иррациональные числа, которые можно аппроксимировать дробями со знаменателем 20, пересекаются с теми, которые можно аппроксимировать дробями со знаменателем 12. Гипотезу Даффина-Шаффера тяжелее всего доказать именно в таких ситуациях — когда у чисел в аппроксимационной последовательности есть много общих небольших простых делителей, и происходит пересечение многих подмножеств чисел, которые аппроксимирует каждый из знаменателей.
«Когда у многих знаменателей из которых вы выбираете есть много небольших простых делителей, они начинают мешать друг другу», — сказал Сэм Чау из Оксфорда.
Ключ к решению гипотезы заключался в поиске способа точно подсчитать взаимные наложения подмножеств иррациональных чисел, которые аппроксимируются знаменателями, имеющими общие простые делители. 80 лет этого никому не удавалось сделать. Кукулопулос и Мэйнард добились успеха, найдя совершенно новую точку зрения на задачу.
Граф взаимного наложения
В своём новом доказательстве они строят из своих знаменателей граф. Они строят их в качестве вершин графа и соединяют вершины ребром, если у них есть множество общих простых делителей. Структура графа описывает наложение подмножеств иррациональных чисел, которые аппроксимирует каждый из знаменателей. И хотя это наложение тяжело исследовать напрямую, Кукулопулос и Мэйнард нашли способ анализировать структуру графа при помощи инструментов из теории графов – и нужная им информация нашлась таким путём.
«Граф помогает визуально разбираться в задаче, это красивый язык, на котором можно размышлять о проблеме», — сказал Кукулопулос.
Кукулопулос и Мэйнард доказали, что гипотеза Даффина-Шаффера и в самом деле верна: если вам дали список знаменателей с допустимыми ошибками, вы можете определить, возможно ли аппроксимировать практически все иррациональные числа, или это невозможно сделать, просто проверяя, расходится ли соответствующая сумма мер в бесконечность или сходится к конечному значению.
Это элегантная проверка, берущая обширный вопрос природы аппроксимации рациональными числами и сводящая его к единому вычисляемому значению. Доказав универсальность проверки, Кукулопулос и Мэйнард совершили один из величайших поступков для математики: дали окончательный ответ на основополагающий вопрос в своей области.
«Их доказательство стало необходимым и достаточным результатом, — сказал Грин. – Полагаю, он отмечает конец очередной главы в математике».
Некоторые могут подумать, раз это отношение обозначается греческой буквой, стало быть, его вывел некий греческий математик. На самом деле об этом история умалчивает. Зато имеются данные о том, кто впервые использовал в своих работах это обозначение.
Все окружности похожи
Если сравнить окружности отличных друг от друга размеров, то можно заметить следующее: размеры разных окружностей пропорциональны. А это значит, что при увеличении диаметра окружности в некоторое количество раз, увеличивается и длина этой окружности в такое же количество раз. Математически это записать можно так:
| C1 | C2 | |
| = | ||
| d1 | d2 | (1) |
Также эту формулу можно записать в ином виде, выразив диаметр d через радиус R данной окружности:
Как раз эта формула и является проводником в мир окружностей для семиклассников.
Еще с древности люди пытались установить значение этой константы. Так, например, жители Месопотамии вычисляли площадь круга по формуле:
где S – площадь круга, C – длина окружности (круга). Если в эту формулу подставить уже знакомые школьнику выражения площади круга S = π r 2 и длины окружности С = 2 π R, то мы получим:
| (2 π R) 2 | |
| π R 2 | = |
| 12 |
В древнем Египте значение для π было точнее. В 2000-1700 годах до нашей эры писец, именуемый Ахмесом, составил папирус, в котором мы находим рецепты разрешения различных практических задач. Так, например, для нахождения площади круга он использует формулу:
| 8 | 2 | |||
| S | = | ( | d | ) |
| 9 |
Из каких соображений он получил эту формулу? – Неизвестно. Вероятно, на основе своих наблюдений, впрочем, как это делали и другие древние философы.
По стопам Архимеда
Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: «переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным».
| 10 | 6336 | 14688 | 1 | ||
| 3 | π | ||||
| 71 | 1 | 1 | 7 | ||
| 2017 | 4673 | ||||
| 4 | 2 | ||||
можно записать проще: 3,140 909 π π за 3,14 для удобства подсчета.
| π D 2 |
| S= π R 2 = |
| 4 |
где S – площадь окружности, R – ее радиус, D – диаметр окружности.
Длина окружности, или, как ее иногда называют, периметр окружности, вычисляют по формуле:
где C – длина окружности, R – радиус, d – диаметр окружности.
Понятно, что диаметр d равен двум радиусам R.
Из формулы длины окружности можно легко найти радиус окружности:
| C | C |
| R= | = |
| 2 π | d |
Обозначения для этих формул остаются те же.
Диаметр окружности можно найти по формуле:
| C | |
| D= | =2R |
| π |
где D – диаметр, С – длина окружности, R – радиус окружности.
Это базовые формулы, знать которые должен каждый ученик. Также иногда приходится вычислять площадь не всей окружности, а только ее части – сектора. Поэтому представляем вам её – формулу для вычисления площади сектора окружности. Выглядит она так:
| α | ||
| S | = | π R 2 |
| 360˚ |
где S – площадь сектора, R – радиус окружности, α – центральный угол в градусах.
Такое загадочное 3,14
И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.
Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием «Пи». Фильм получил множество наград.
Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют «День числа Пи». К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.
Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.
Давайте развлечемся!
Вашему вниманию предлагаются интересные ребусы с числом Пи. Разгадайте слова, какие зашифрованы ниже.
