Основные неопределенности пределов и их раскрытие
В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.
Выделяют следующие основные виды неопределенностей:
Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.
Раскрытие неопределенностей
Раскрыть неопределенность можно:
С помощью замечательных пределов;
С помощью правила Лопиталя;
Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).
Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.
| Неопределенность | Метод раскрытия неопределенности |
| 1. Деление 0 на 0 | Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений |
| 2. Деление бесконечности на бесконечность | Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя |
| 3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями | Преобразование в » open=» 0 0 или » open=» ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя |
| 4. Единица в степени бесконечности | Использование второго замечательного предела |
| 5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень | Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x ) |
Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.
Решение
Выполняем подстановку значений и получаем ответ.
Решение
Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:
Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.
Решение
Выполняем подстановку значений.
В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.
Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.
Решение
Подставляем значение и получаем запись следующего вида.
Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.
Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.
Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.
Решение
Выполняем разложение числителя на множители:
Теперь делаем то же самое со знаменателем:
Мы получили предел следующего вида:
Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.
Решение
Решение
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = » open=» ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Решение
Выводы
В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:
Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.
Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.
Число в степени бесконечность
Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется непосредственно. Поскольку показательная функция
при а>1 возрастает, то для таких а
При 0 
Соответственно, применение второго замечательного предела здесь не требуется. Используем следующее свойство пределов:
при условии, что эти пределы существуют.
Рассмотрим примеры, в которых нужно найти число в степени бесконечность.
Найти пределы функций:
Получили неопределенность бесконечность на бесконечность в степени бесконечность.
Найдем пределы основания и показателя степени. (Как находить предел бесконечность на бесконечность, уже рассматривали ранее. Делим и числитель, и знаменатель на старшую степень икса, в данном случае — на x.)
Таким образом, приходим к выводу, что
2) Вычислить предел функции:
Рассуждаем аналогично. При нахождении предела основания степени делим многочлены в числителе и знаменателе на старшую степень икса, то есть на x²:
Пикабу-математики, помогите, пожалуйста 🙂 «-1 в степени бесконечность» (Коммент для минусов внутри)
Розы рвать как-то уж слишком
Ответ на пост «Мастер парковки»
Заметил одну особенность. Всегда выходцы из горных республик при конфликтах с другими мужчинами используют 2 фразы:
То есть эти джигиты в пылу ссоры выплескивают первое что им приходит на ум при виде другого мужчины.
После этого у возникает вопрос.
А есть ли в аулах женщины вообще?
Ответ на пост «Чёрная неблагодарность»
Когда дочка заболела раком, я переписывался с онкоцентром. Так @Mail.ru мне в письма подсовывал рекламу ритуальных услуг.
Я на тот момент настолько ох#ел от этого, что даже не заскринил.
Сейчас у дочки всё хорошо (тьфу-тьфу-тьфу), но у меня до сих пор бомбит.
Папе стало плохо и пришлось делать искусственное дыхание
Благотворительность
Пришли с супругой на кассу с покупками. Выгружаем из тележки, впереди дама в возрасте все уже выгрузила,и спрашивает у супруги-вы мне карту магазина не одолжите?
Супруга-без проблем, но она на телефоне. Как ваша очередь подойдёт, я вам проведу.
Так и сделали. Дальше пробили свои покупки, а дама стоит чуть в стороне от кассы. Уже начинаем двигаться в сторону парковки, она нас догоняет и говорит- а вы мне не хотите вернуть 56 рублей, которые вам зачислились на карту?
Вот честно, пора прекращать заниматься благотворительностью.
Сын Пескова
Сын пресс-секретаря президента России Дмитрия Пескова Мика отреагировал в своем Instagram-аккаунте на гибель автоблогера Саида Губденского, устроившего массовое ДТП на Кутузовском проспекте в Москве.
«Такая странная психологическая фигня: каждый раз, когда вижу аварию или тем более разбивается кто-то из знакомых, я каждый раз обещаю себе ездить с головой и не гонять, но проходит 2-3 дня, и начинается то же самое», — написал 17-летний Мика Песков.
По его словам, страшно, когда в ДТП погибают молодые, позитивные и успешные знакомые. «Могу сказать одно: я и все остальные продолжим гонять, но все же я надеюсь, что эта ситуация кого-то чему-то научит», — заключил он.
UPD: Позднее Песков прокомментировал публикацию сына и заявил, что юноша не сам писал этот текст. По словам представителя Кремля, он лишь перепостил себе скриншот чужой записи.
Мне вот интересно, где этот 17- летний мажор гоняет и на чём? И почему? Или Песков скажет, что сын пассажиром гоняет?
Чему равно e?
Число e, иногда называемое натуральным числом или числом Эйлера, является важной математической константой, приблизительно равной 2.71828. При использовании в качестве основания для логарифма соответствующий логарифм называется натуральным логарифмом и записывается как ln (x) .
Следовательно, что равно нулю?
Для всех чисел возведение этого числа в 0-ю степень равно единице. Итак, мы знаем, что: e 0 =1.
Кроме того, как рассчитывается e?
Мы узнали, что число e иногда называют числом Эйлера, и оно составляет приблизительно 2.71828. Как и число Пи, это иррациональное число, которое продолжается вечно. Это число можно вычислить двумя способами: вычисляя (1 + 1 / n) ^ n, когда n бесконечно, и добавляя к ряду 1 + 1/1! + 1/2!
Во-вторых, почему мы используем e? е базовая скорость роста, разделяемая всеми непрерывно растущими процессами. e позволяет вам взять простой темп роста (где все изменения происходят в конце года) и найти влияние составного, непрерывного роста, когда каждую наносекунду (или быстрее) вы растете лишь на чуть-чуть.
Почему е используется в математике?
Может ли е стать нулем?
Сколько е в степени 0?
Ответ: Значение e в степени 0 равно 1.
Что такое е (- бесконечность?
Ответ: е в степени бесконечность есть бесконечность (∞).
Какова естественная экспоненциальная функция E?
Что такое Е (- бесконечность?
Ответ: е в степени бесконечность есть бесконечность (∞).
Каково значение E power 0?
Ответ: Значение e в степени 0 равно 1.
Для чего е используется в реальной жизни?
Число Эйлера e имеет несколько общих применений в реальной жизни. Вместо этого появляется часто в проблемах роста, например, модели популяции. Также довольно часто появляется в физике. Что касается проблем с ростом, представьте, что вы пошли в банк, где у вас есть 1 доллар, фунт или другие деньги, которые у вас есть.
Что такое бесконечность?
Каково значение e power 0?
Ответ: Значение e в степени 0 равно 1.
Какова естественная экспоненциальная функция e?
Что такое е в Excel?
Почему е особенное?
Отрицательная бесконечность равна нулю?
Как вы используете e в Excel?
В Excel есть экспоненциальная функция и функция натурального журнала. Функция = EXP (значение) и дает результат evalue (это называется синтаксисом). Например, чтобы найти значение e, мы можем написать = EXP (1). Далее, если мы поместим число x в A1, а в A2 мы положим формулу = EXP (A1 ^ 2-1), это даст нам ex2−1.
Что такое бесконечность E?
Как узнать значение E 0?
Значение e 0 is равно 1.
Что такое 3 в степени O?
Что делится на бесконечность 1?
Что такое экспоненциальная функция?
e. = с основанием e. Ее часто называют экспоненциальной функцией. Поскольку 2 Почему E используется для экспоненциального роста?
Что такое экспонента e?
Экспоненциальная постоянная является важной математической константой и обозначается символом e. Его ценность приблизительно 2.718. Было обнаружено, что это значение встречается так часто, когда математика используется для моделирования физических и экономических явлений, что удобно писать просто e.
Занимательная Гугология, часть 2. Есть ли что-нибудь за пределами бесконечности?
Дисклеймер: Перед тем как читать эту статью я настоятельно рекомендую ознакомиться с первой частью этого цикла, поскольку многие понятия, которые я использую здесь, там уже были разъяснены, и здесь я повторяться не буду.
Дисклеймер для специалистов и тех кто уже немного в теме: В данной части под бесконечными множествами (∞) подразумеваются только кардинальные (א). В следующей части я объясню, что означают кардинальные множества. Все это сделано для максимального облегчения и так непростого материала.
Бесконечность очень любят математики. Однако физики приходят в ужас, когда в их уравнениях встречается бесконечность. Например, если спросить у физика, что находится внутри черной дыры он, будучи честным, ответит «не знаю», потому что решение уравнения черной дыры выдает в результате ответ, что в ее центре находится бесконечное искривление пространства. Иными словами, как только у физика где-то получается бесконечность он просто разводит руками и уповает на то, что однажды сможет создать уравнение, которое даст более определенный ответ. На самом деле в математике с бесконечностью тоже не все в порядке. До 1908 г. математики пытались доказать существование бесконечности, пока Эрнст Цермело не постановил, что существование бесконечности – это аксиома.
Напомню, что такое аксиомы. Это утверждения, принимаемые без доказательств, на их основе строится вся математика и вообще по-сути любая формализация: письменная, устная или мысленная. Например, в геометрии очевидно, что через две точки можно провести только одну прямую. Только вот это нельзя доказать – это аксиома, так есть и всё, смиритесь с этим!
Даже арифметика, которую проходят в начальной школе имеет свои аксиомы, их четыре. Я записал их здесь в немного измененном, но более понятном виде.
Их нельзя доказать или вывести из других утверждений. Так есть, и бессмысленно спрашивать почему они такие.
Но вернемся к бесконечности. Зачем вообще была нужна эта аксиома, которая вводит ее как должное? Дело в том, что без нее в математике возникало такая неприятная штука, которую называли множество всех множеств. Что ж это за гадость такая? Множество всех множеств – это абстрактное абсолютнейшее множество, которое включает в себя вааааще все, что только возможно, мыслимо и немыслимо. Однако существование такого множества делает математику противоречивой. В историю это противоречие вошло, как парадокс Рассела, в честь математика который его сформулировал.
Парадокс на самом деле весьма прост и звучит так: если существует множество всех множеств, то куда входит это множество. Для наглядности было придумано множество загадок. Мне больше всего нравится эта. Существует страна, в которой есть три закона: все жители должны жить в городах, в каждом городе должен быть мэр, мэр не может жить в одном городе с простыми горожанами. Казалось бы, очевидным решением было создать отдельный город для мэров – но вопрос, где будет жить мэр города мэров?
Если мы вводим бесконечность как аксиому, тогда необходимость в таком множестве автоматически отпадает. А в 1931 г. Курт Гёдель и вовсе доказал, что существование бесконечности может быть только аксиомой, то есть доказать, что бесконечность существует невозможно, можно только принять это.
Итак, бесконечность существует и она больше любого числа.
А если к бесконечности прибавить 1, это что-нибудь изменит? Нам не нужно быть выдающимся математиком, чтобы осознать: сколько не прибавляй к бесконечности, она все равно останется бесконечностью. Хотя выдающиеся математики могут тут с нами поспорить, но об этом я расскажу в третьей части цикла.
То же самое с умножением. Даже если мы сложим или умножим бесконечность саму с собой, ничего не изменится.
Следовательно, вот вам и первые свойства бесконечности:
Дальше ориентироваться в арифметике бесконечностей нам поможет задача, называемая Отель Гильберта. По условиям задачи мы имеем отель с бесконечным количеством номеров, в которых живет бесконечное количество постояльцев. Вопрос, как заселить в отель еще одного человека?
Ответ, звучит так: нужно обратиться к постояльцу из номера «1» с просьбой о переселении в следующий по счету номер, и чтобы он попросил о том же постояльца из того номера, передав, что администрация отеля приносит глубочайшие извинения за неудобства. В итоге все постояльцы все равно останутся с номерами, а у нас появиться одно свободное место.
Наши действия с выселением из четных номеров это все равно, что разделить бесконечность на два. Получается, что бесконечность деленная на любое число тоже дает бесконечность. И правда, ведь мы можем заселять постояльцев через один номер, оставляя их пустыми, так что на каждого постояльца придется по два номера, или через четыре номера, так что на каждого постояльца придется по пять номеров. Можем вообще каждому заселяющемуся отдавать по 10 или 50 номеров, да хоть по ∞ номеров в идеале, все равно в результате такого расточительства гостиничной собственности все постояльцы будут заселены, следовательно:
А раз мы выяснили, что ∞ / ∞ = ∞, это значит что бесконечность всех возможных дробных чисел равна бесконечности всех возможных целых чисел.
Ну а как быть со степенью. По сути, возведение бесконечности в степень – это тоже, что перемножить ее между собой несколько раз. Поэтому, в какую бы степень мы не возвели бесконечность, это не должно ничего изменить в сложившейся ситуации.
Однако возведение в бесконечную степень изменит результат. Но вот так сразу объяснить почему, не получится. Придется зайти издалека.
Для начала вспомним, чем рациональные числа отличаются от иррациональных.
Знаменитая теорема Пифагора, говорит, что если катеты прямоугольного треугольника равны 1, то его гипотенуза будет равна квадратному корню из двух. Понятно, что √2 это нецелое число. Но оно удивительно тем, что не существует дроби, в виде которой можно его представить, поскольку иначе числитель и знаменатель этой дроби должны быть бесконечными.
√2 ≈ 1,41421356237309504880168872420969807856 9671875376948073176679737990732478462107 0388503875343276415727.
По легенде считается, что Пифагор сам пришел к такому выводу. Естественно он понимал, что это будет нецелое число, но поначалу ему и в голову не приходило, что √2 невозможно записать дробью. Он считал, что должна существовать какая-то большая дробь, которая будет равна √2. Пифагор решил выяснить так ли это. Если увеличить стороны катетов до 2, то гипотенуза будет равна √8, что тоже не является целым числом. Пифагор думал, что увеличивая величину катетов, он рано или поздно получит целое число гипотенузы и докажет, что √2 можно записать дробью. Он был полностью обескуражен, когда понял, что в своем эксперименте целого числа он не получит никогда, сколько бы он не увеличивал стороны катетов.
Но какое это отношение имеет к бесконечности? Самое прямое! Когда мы, например, делим бесконечную линию на отрезки, то получаем бесконечность отрезков, которые можно считать. Естественно, если мы попытается их сосчитать, то нам не встретится отрезка под номером √2. Однако если разбить бесконечную линию на безразмерные точки, то где-то на линии можно поставить точку равную отметке в √2. Как это сделать? Очень просто. Берем наш равносторонний прямоугольный треугольник прикладываем его сначала катетом, отмечаем точку 1, затем прикладываем гипотенузой и получаем точку √2. Но проблема в том, что используя традиционное математическое деление получить эту точку невозможно. Значит, сколь малые дробные числа мы бы себе не представили, где-то между ними всегда будут находиться иррациональные числа.
То есть у нас существует две разные бесконечности, одна больше другой. Спрашивать во сколько раз или на сколько раз бессмысленно. Больше и все тут. Их принято записывать с индексами 0 и 1, это называют мощностью бесконечности. То есть теперь ∞ = ∞0
Причем бесконечность бо́льшей мощности с легкостью поглащает бесконечность меньшей мощности: ∞1 + ∞0 = ∞1 и ∞1 ⋅ ∞0 = ∞1
Хорошо, но как со всем этим связано возведение в бесконечную степень? Опять же так сразу понять не получится. Сперва, нам нужно узнать, как хранятся иррациональные числа в компьютере.
Понятно, что иррациональное число это такое число, у которого бесконечная последовательность чисел, после запятой. А компьютер не может хранить бесконечную последовательность. Обычно хранится где-то 14, 15 знаков после запятой, остальные округляются. То есть самое точное значение √2, которое можно использовать в обычной компьютерной программе это 1,4142135623731.
А можно ли повысить точность? В принципе можно, но чтобы понять, как, нужно разобрать как компьютер вообще хранит числа.
Ну, это просто. Итак, сколько видов информации может хранить одна лампочка? Ответ очевиден: 2 – вкл и выкл. А две лампочки? Ответ: 4 – выкл+выкл, вкл+вкл, выкл+вкл, вкл+выкл.
А если у нас n лампочек:
Это выражение основа информатики. Оно называется Булеан. Лампочки это биты, а их булеан (2 n ) это числа, которые могут быть в них закодированы. То есть, имея 1 бит, мы можем закодировать числа от 0 до 1, имея 2 бита от 0 до 3, имея 8 бит от 0 до 255.
Для хранения дробных чисел используется 48 бит, что дает возможность записать любое дробное число с точностью от 0 до 1/281474976710655.
Но в нашем обсуждении не так уж и важно, верна континуум-гипотеза или нет. В любом случае у нас появилась арифметическая возможность получать новые бо́льшие бесконечности.
Но для начала, давайте посмотрим, где можно встретить отражение бесконечностей разных мощностей.
Самое интересное в этом, то что на сегодняшний день неизвестна ни одна совокупность абстрактных объектов, которая составляла бы бесконечности третьей мощности (∞3). То есть, ∞3 не имеет никаких соответствий, даже если попытаться описать с помощью нее всевозможные абстрактные понятия. Ничто известное человечеству не составляет ∞3. Она не имеет никаких аналогий не только в реальности, но и в абстракции.
Можно сказать, что бесконечности выше третьей мощности это всем абстракциям абстракции. Фактически они не имеют никаких практических описательных применений. Тем не менее, приведенная выше формула позволяет нам создавать все более мощные бесконечности:
Хоть при помощи них уже нельзя ничего сосчитать, тем не менее, они существуют. Потому что все это следует из принятых нами аксиом арифметики и аксиомы бесконечности.
Но хорошо, вот мы дошли до бесконечности бесконечной мощности ∞∞, чтобы это не значило. А может ли быть у бесконечной мощности своя мощность, то есть:
А почему бы и нет. Тогда получается за ней последует ∞∞1. Однако некоторые могут скептически отнестись к такой конструкции. И хочу сказать, что ваши сомнения оправданы. Ведь мощности у бесконечностей выражаются натуральными числами, а как мы выяснили, бесконечность натуральных чисел это ∞0, и как такое возможно, что мощности вдруг стали исчиляться ∞1? Отвечаю: это возможно, но я пока не буду объяснять почему, скажу лишь, что такую конструкцию допускает континуум-гипотеза, подробнее об этом я расскажу в третьей части цикла.
С ней вроде бы все понятно, с ее помощью можно увеличивать вложенность бесконечных мощностей. На очереди пентация бесконечностей.
Многим может показаться, что всё, финиш, дальше продвигаться некуда. Но давайте представим, что в этой лестнице не просто ∞0 ступенек, а ∞1 ступенек. Некоторые из вас опять же возразят: как такое может быть, ведь ступеньки в этой лестнице отдельные счетные элементы и все их бесконечное множество не может превыщать по мощности ∞0. И опять же отвечу, что континуум-гипотеза это допускает, как допускает существование ∞∞1, как и обещал продробнее это будет рассмотрено в третьей части цикла. Пока поверьте на слово, что это возможно.
Теперь используя этот нюанс, попробуем выразить хескацию бесконечностей. Чтобы понять как, смотрите на рисунок ниже.
Вот этот последний монстр и будет ∞[6]∞. То есть у нас уже не просто лестница бесконечностей. А это лестница длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая длиною в лестницу бесконечностей, которая. (и.т.д).
Визуализировать ∞[7]∞ будет еще сложнее. Это будет выглядеть так:
Конечно вам может показаться, что все это пустые измышления. Может быть и так, но раз математика позволяет нам создавать такие структуры это значит, что они существуют, пусть не в реальности, пусть как абстракции, но существуют.
А может гипероператор быть больше чем обычная бесконечность, например ∞[∞1]∞? Может. И это все равно, что ∞[∞[3]∞]∞. А может быть еще больше? Конечно. Может быть и таким ∞[∞∞]∞ = ∞[∞[4]∞]∞. Пусть хоть он будет лесницей бесконечности ∞[∞∞∞∞. ]∞ = ∞[∞[5]∞]∞. Пожалуйста. Вот только мы же не сможем визуализировать мощности таких структур, но опять же, это не значит, что они не существуют.
Итак, раз у нас уже начались вложения гипероператора, давайте сразу перейдем к ∞[∞[∞]∞]∞, затем к ∞[∞[∞[∞]∞]∞]∞ и так далее.
Затем мы можем привлечь функцию superhyper(), а после чего функцию quasi(), которые как вы помните я ввел еще в первой части цикла. Или можем сразу перейти к более сильным нотациям, с которыми я вас так же вкратце познакомил в конце первой части.
Врятли кто возьмется объяснить простым языком, что все это значит. Однако это кажется просто невероятным, как возможности нашего разума, как сила математического формализма способна создавать такие сущности, которые больше не только любых физических величин, но и любых мыслимых абстрактных объектов.
Пока что ничего бо́льшего чем разрядовая недостижимость не придумали.
Но вопрос все равно остался открытым, доколе можно вводить новые аксиомы, которые будут позволять нам увеличивать невообразимость создаваемых нами сущностей?
Что ж, математики не знают ответа на этот вопрос. На самом деле ответа тут может быть два:
1 – однажды мы дойдем до того, что любая новая аксиома сделает противоречивыми все наши построения и значит всё, бо́льших абстракций придумать невозможно.
2 – новым аксиомам может не быть конца.
На этом предлагаю остановиться и сделать передышку. В третей части я расскажу как можно упорядочить бесконечность, и как ни странно, понимание этого еще на один шаг приблизит нас к построению самого большого из придуманных чисел, о чем я поведаю уже в четвертой части цикла.
