чему равно действующее значение несинусоидального тока

Содержание

Действующее значение несинусоидальной величины.

Действующим называют значение несинусоидального тока, эк­вивалентное постоянному току по тепловому действию.

При этом нужно учесть, что несинусоидальный ток складывает­ся из постоянной составляющей и ряда гармоник:

image217

Каждая составляющая несинусоидального тока выделяет тепло в некотором элементе цепи с сопротивлением R. Воспользовав­шись рассуждениями § 10.3 для определения действующих значе­ний тока гармоник и постоянной составляющей несинусоидаль­ного тока, можно сделать вывод, что

image219(18.19)

image221где /0 — постоянная составляющая несинусоидального тока; I1, I2, Ik, — действующее значение токов гармоник, т.е.

Таким образом, действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной величиной постоянной состав­ляющей и действующих значений токов гармоник.

С учетом выражения (10.9) действующее значение несинусоида­льного тока можно определить по формуле

image223(18.20)

Аналогично действующее значение несинусоидального напря­жения определяется выражением

image225(18.21)

Действующее значение несинусоидального напряжения является средней квадратичной величиной постоянной составляющей и дей­ствующих значений напряжений гармоник.

Действующие значения несинусоидальных токов и напряжении измеряются амперметрами и вольтметрами электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.

Кроме коэффициента формы Кф и коэффициента амплитуды Kа, определение которых дано в §10.3 (выражение (10.10) и (10.11)), несинусоидальные периодические кривые характеризу­ются коэффициентом искажений КИ. Коэффициент искажений определяется отношением действующего значения основной (первой) гармоники тока или напряжения к действующему значению этих не­синусоидальных величин. Такое определение аналогично image227для ЭДС, магнитного потока и т. д. Г Коэффициент искажения тока

image229Коэффициент искажения напряжения

Чем меньше коэффициент искажения отличается от единицы, тем ближе к синусоиде данная кривая.

( В электронике и радиотехнике несинусоидальность кривой ха­рактеризуют коэффициентом гармоник, показывающим удельный вес высших гармоник Кr относительно первой (основной) гармоники:

image231(

Чем меньше коэффициент гармоник, тем ближе к синусоиде Несинусоидальная кривая.

16. image233Мощность несинусоидального тока.

Под активной мощностью Р несинусоидального тока пони­мают среднее значение мгновенной мощности (§ 11.1) за пе­риод, т. е.

Проинтегрировав это выражение, получают

image235(18.25)

Таким образом, потребляемая, т. е. активная, мощность в цепи несинусоидального тока определяется суммой постоянной мощности и активных мощностей гармоник.

Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока, по ана­логии, определяется выражением

image237(18.26)

Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока определяет­ся суммой реактивных мощностей гармоник.

Постоянная составляющая реактивной мощности отсутствует, так как для постоянного тока колебание мощности (энергии) не­мыслимо.

Полная, или кажущаяся, мощность в цепях несинусоидального тока равна S=UI.

Следует иметь в виду, что несинусоидальный ток или напряже­ние не могут быть выражены при помощи векторов. Кривые не­синусоидального тока и напряжения в общем случае даже не по­добны. Так что невозможно применить понятие об угле сдвига фаз, принятое для синусоидальных токов.

Поэтому при изучении некоторых свойств цепей несинусоида­льного тока несинусоидальные токи и напряжения заменяют эк­вивалентными синусоидальными. Замена производится таким образом, что действующее значение синусоидального тока при­нимается равным действующему значению заменяемого несину­соидального тока, а действующее значение синусоидального напряжения принимается равным действующему значению несинусоидального напряжения.

Тогда угол сдвига фаз Ф между эквивалентными синусоидами напряжения и тока выбирается таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощ­ности несинусоидального тока, т. е. image239

Откуда image241(18.27)

При этом image243Однако для цепи несинусоидального тока

в общем случае image245(18.28)

Равенство image247(выражение (12.14)), выведенное из треугольника мощностей (рис.12.2в), справедливо для синусои­дального тока определенной частоты ώ. Несинусоидальный ток складывается из нескольких синусоидальных составляющих с разными (кратными) частотами и разными углами сдвига фаз φ между током и напряжением (определенными для каждой гармо­ники); т. е. для несинусоидального тока нельзя построить вектор­ную диаграмму и прямоугольный треугольник мощностей. Поэ­тому выражение (12.14) для несинусоидального тока несправедливо и полная (кажущаяся) мощность не равна image249

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 27 ; Нарушение авторских прав

Источник

Чему равно действующее значение несинусоидального тока

Цепи несинусоидального периодического тока

Цепями периодического несинусоидального тока называются цепи токи в ветвях которых или напряжения на ветвях которых носят несинусоидальный периодический характер. Причинами возникновения в электрических цепях несинусоидальных периодических токов являются

1.Несовершенство (неидеальность) источников синусоидальных напряжений и токов.

2. Наличие в ветвях эл. цепей генераторов напряжений и токов специальной формы ( прямоугольной, пилообразной, трапециедальной и т.п.)

3. Наличие нелинейных элементов в ветвях эл. цепей.

1. Представление несинусоидальных напряжений и токов рядами Фурье

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F ( w t ) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

Image3169; Image3170;Image3171.

Для основных типов периодических функций, имеющих прямоугольную, треугольную, трапециевидную и др. формы, выражения для коэффициентов ряда Фурье приводятся в справочниках. Примеры разложений несинусоидальных периодических сигналов типовых форм приведены на рис.10.1.

Image3172

Image3173

В тех случаях, когда представить аналитически несинусоидальную функцию не представляется возможным или она задана в виде графика (или осциллограммы), амплитудные коэффициенты ряда можно получить графо-аналитически.

Этот метод основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. Для этого период функции f( w t)=f(x) разбивается на n равных отрезков D X=2 p /n, как показано на рис.10.2. и находятся значения функции f(x) в середине каждого интервала.

Image3174

После этого вычисляют коэффициенты ряда по формулам

Image3175; Image3176; Image3177,

f p (x)= f(x) Ѕ x=(p-0.5) D x, Cos p kx= Coskx Ѕ x=(p-0.5) D x, Sin p kx= Sinkx Ѕ x=(p-0.5) D x.

После тривиальных преобразований ряд (10.1) можно переписать в виде

Image3178,

где Image3179, Image3180.

Таким образом после разложения аналитического или графо-аналитического периодические несинусоидальные ток и напряжение можно представить в виде

2. Мгновенные, средние и действующие значение несинусоидальных периодических величин.

Выражение (10.3) и (10.4) характеризуют мгновенные значения несинусоидальных тока и напряжения.

При несинусоидальных периодических токах и ЭДС в электрической цепи возможно ввести понятия действующих значений аналогично тому, как это было сделано для синусоидальных величин.

Действующее значение тока I определяется через мгновенные значения как

Если представить периодический несинусоидальный ток в виде (10. 3 ) и подставить в (10.5), то после интегрирования получим

Следовательно, действующее значение несинусоидального периодического тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Проведя аналогичные выкладки, можно получить выражения для действующих значений ЭДС и падения напряжения в виде

Image3183,

Image3184.

Средние за период значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно ( 10. 3 ) и (10.4 ), то

Image3185.

Как видно, средние за период значения несинусоидальных периодических величин равны их постоянным составляющим.

Средние по модулю или средние за положительный полупериод значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно (10. 3 ) и (10.4 ), то

Image3186.

3. Оценка формы кривых несинусоидальных периодических величин

Как уже упоминалось выше, реальные источники электрической энергии в силу конструктивных особенностей формируют ЭДС и токи, отличающиеся от синусоидальных. Чаще всего эти величины симметричны, т.к. симметрична конструкция электромеханических генераторов, и не содержат четных гармоник.

Под коэффициентом формы k ф понимают отношение действующего значения к среднему значению, взятому за положительную полуволну, т.е.

Для синусоидальных величин k ф » 1.11.

Под коэффициентом амплитуды k A понимают отношение амплитудного значения несинусоидальной величины к действующему, т.е.

(для синусоиды это значение равно 1.414)

Коэффициент искажений k и это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению несинусоидальной кривой, т.е.

Поскольку идеальных синусоидальных величин практически не бывает, то в технике существует понятие практически синусоидальных кривых. Форма кривой считается практически синусоидальной, если все ее ординаты отличаются от ординат первой гармоники не более, чем на 5%. При этом количество контрольных точек должно быть не менее 12.

4. Мощность в цепях несинусоидального тока

Определим теперь среднюю мощность P в цепи при несинусоидальных токах и напряжениях. Она всегда может быть выражена в виде

Image3187

Подставляя в это выражение напряжение и ток, представленные выражениями (10. 3 ) и ( 10. 4 ), получим

P=U 0 I 0 + U 1 I 1 Cos j 1 +…+ U k I k Cos j k +…,

Для цепи несинусоидального тока реактивную мощность определить формально по аналогии с активной мощностью в виде

Q = U 1 I 1 sin j 1 + U 2 I 2 sin j 2 + ј + U k I k sin j k + FACE=»Symbol» SIZE=4>ј

5. Расчет линейных ЭЦ с источниками периодических несинусоидальных напряжений и токов

Если все элементы электрической цепи с несинусоидальными токами и напряжениями линейны, т.е. параметры элементов не зависят от токов и падений напряжения, то анализ электромагнитных процессов в них можно проводить, используя разложение в ряды Фурье.

Расчет цепи при несинусоидальных токах проводится аналогично расчету при синусоидальных, но он должен выполняться отдельно для каждой гармоники, т.е. алгоритм расчета следующий:

-представить действующую в цепи ЭДС или ток рядом Фурье

-любыми методами расчета цепей синусоидального тока произвести расчет отдельно для каждой гармоники спектра;

-по полученному спектру искомых величин найти требуемые значения.

Image3189

Спектр приложенного напряжения содержит постоянную составляющую или нулевую гармонику, а также первую и третью гармоники.

X Lk =k w 1 L=kX L1 ; X Ck =1/k w 1 C=X c1 /k;

Image3190

Полученные комплексные значения составляющих спектра токов можно представить рядом Фурье в виде

Теперь можно определить активную мощность в цепи как

P=U 0 I 0 + U 1 I 1 Cos j 1 + U 3 I 3 Cos j 3 =

10 ґ 0.5+ (20 ґ 1.78/2) ґ Cos[-30 o –(-3.4 o )]+ (5 ґ 0.54/2) ґ Cos[45 o –(-32.4 o )]=22.2 Вт

Источник

№48 Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений.

Как известно, в электроэнергетике переменные токи и напряжения характеризуются их действующими значениями. Математически действующее значение любого периодически изменяющегося тока (напряжения) определяется как среднеквадратичное значение функции за период:

48.1

Пусть функция тока содержит в своем составе все компоненты ряда Фурье:

48.2

Определяем действующее значение этой функции

48.3

При интегрировании учтено, что произведение двух синусоидальных функций времени с различными частотами ω1=pω и ω2=qω дает сумму двух новых синусоидальных функций с частотами (ω1+ω2) и (ω1-ω2), определенный интеграл от которых в пределах целого числа периодов равен нулю.

Итак получено, что действующее значение несинусоидального тока (напряжения) равно квадратному корню из действующих значений отдельных гармоник:

48.4

Примеры некоторых функций и их действующих значений приведены ниже:

48.5

Вывод: при коэффициенте высшей гармоники менее 0,1 (kг2=I2m/I/m ≤ 0.1) их доля в действующем значении функции составляет менее 1% (I3/I1=1.006 ), и, следовательно, при определении действующего значения функции с погрешностью δ

Источник

Действующее значение несинусоидального тока

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

Как известно, действующее значение синусоидального тока численно равно такому постоянному току, при котором выделяется столько же тепла, сколько его выделяется при переменном токе в одинаковом сопротивлении за одинаковое время, равное одному периоду Т. Из такого же условия определяется действующее значение переменного несинусоидального тока.

При этом необходимо учесть, что несинусоидальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда синусоидальных гармоник:

image052 (17.13)

Очевидно, общее количество тепла, которое выделяется при несинусоидальном токе в некотором элементе цепи с сопротивлением R в течение одного периода Т, будет равно сумме количеств тепла от всех его составляющих:

image054 (17.14)

где Q – тепло, выделяемое за один период Т при несинусоидальном токе, действующее значение которого равно I:

image056;

Q0 – тепло, выделяемое за то же время при токе, равном постоянной составляющей:

image058

За время периода Tk при токе, равном k-й составляющей, выделяется тепло

image060

где Ik – действующее значение тока k-ой гармоники.

За время, равное периоду основной гармоники, выделится в k раз больше тепла:

image062

После подстановки в (17.14) получим

image064 (17.15)
image066.

Отсюда следует, что действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной из постоянной составляющей и действующих значений синусоидальных составляющих этого тока:

image068 (17.16)

Аналогичное выражение можно получить и для действующего значения несинусоидального напряжения:

image070 (17.17)

Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений измеряются электроизмерительными приборами тепловой, электромагнитной и электродинамической систем.

Несинусоидальные периодические кривые характеризуются коэффициентом искажения, который равен отношению действующих значений основной гармоники и всей функции:

image072. (17.18)

Вопросы для самоконтроля

1. Какие напряжения и токи называют несинусоидальными?

2. Как можно осуществить аналитическое описание несинусоидальной функции времени?

3. Запишите формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье.

4. В чем заключается особенность разложения в ряд функций при различных видах симметрии?

5. Как вычисляется действующее значение несинусоидального тока или напряжения?

6. Как вычисляется коэффициент искажения и чему он равен для синусоиды?

Источник

Несинусоидальный ток

Содержание:

Несинусоидальный ток:

Периодическими несинусоидальными токами называют токи, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону.

Несинусоидальные токи

Несинусоидальные токи возникают при различных режимах работы электрических цепей. Таких режимов четыре.

Таким образом, причиной несинусоидальности в электрической цепи может быть источник электрической энергии или потребитель, т. е. нагрузка, или оба одновременно.

В электрических генераторах (источниках электрической энергии) основной причиной несинусоидальной ЭДС (напряжений) является неравномерное распределение магнитного потока (по окружности) в зазоре между статором и ротором генератора.

Причиной появления несинусоидальных токов в нагрузке является, как указывалось выше, нелинейные вольт-амперные характеристики потребителей или преобразователей, например трансформаторов. В настоящей главе рассмотрен расчет и особенности работы линейных электрических цепей при воздействии на них несинусоидальных ЭДС, т. е. первый из перечисленных выше режимов работы. Остальные режимы рассматриваются в главе 19 и в специальной технической и справочной литературе.

Гармоники

Несинусоидальные колебания могут быть периодическими и непериодическими. При рассмотрении периодических несинусоидальных колебаний можно воспользоваться теоремой Фурье, Согласно которой любая периодически изменяющаяся величинa может быть представлена в виде суммы постоянной составляющей и ряда синусоидальных составляющих с кратными частотами.

Синусоидальные составляющие несинусоидальных колебаний называются гармониками.

Синусоидальная составляющая, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической величины, называется основной, или первой, гармоникой. А синусоидальные составляющие, частоты которых в 344411

Аналитическое выражение несинусоидальной периодической функции можно записать так:

344413

где 344414— несинусоидальная величина, изменяющаяся с частотой 344415— постоянная составляющая несинусоидальной величины; 344416— амплитуды соответственно 344417гармоник, т. е. синусоидальных составляющих с частотой 344418344419— начальные фазы соответственно 344417гармоник.

Из выражения (18.1) следует, что сложение синусоидальных колебаний (гармоник) с различными частотами и разными начатыми фазами дает несинусоидальное колебание. Убедиться в этом можно при графическом сложении двух синусоидальных ЭДС 344421(рис. 18.1).

На рис. 18.1а складываются две синусоиды 344424где

344425

На рис. 18.1б складываются две синусоиды 344426где

344427

На рис. 18.1в складываются две синусоиды 344429где

344428

Как видно, суммарные колебания 344430в рассмотренных трех случаях (а,б и в) получились различными.

344433
Из рис. 18.1 также видно, что не все несинусоидальные периодические колебания раскладываются в полный ряд Фурье. В данном случае складываются только 1-я и 3-я гармоники, и результирующие колебания 344434могут быть записаны в виде:

344435

Таким образом, несинусоидальные кривые 344437изображенные на рис. 18.1, раскладываются в ряд Фурье только на нечетные гармоники 1-ю и 3-ю, т.е. в разложении отсутствуют постоянная составляющая, все четные гармоники и высшие нечетные гармоники (5-я, 7-я, 9-я и т.д.).

Гармоники можно преобразовать, применив из тригонометрии формулу синуса суммы двух углов. Из выражения (18.1) 344439гармонику можно представить в виде

344440

Обозначив постоянные величины выражения (18.2)

344442344441

344446

Тогда выражение (18.1), т.е. ряд Фурье для несинусоидальной периодической функции, примет вид

344449

В отличие от амплитуды 344450гармоники 344451постоянные величины 344452могут быть положительными или отрицательными.

Такая запись (18.5) характерна тем, что гармоники составляют ряд синусов и ряд косинусов с начальными фазами, равными нулю 344453

Свойства периодических кривых

Несинусоидальные периодические кривые, с которыми приходится встречаться в электротехнике, являются симметричными относительно оси абсцисс или ординат или начала координат.

Так как среднее за период Т значение синусоиды равно нулю (§ 10.3), то среднее за период значение несинусоидальных колебаний, состоящих из нескольких синусоид и не содержащих постоянной составляющей, также равно нулю.

Или иначе, если у несинусоидальной периодической кривой среднее за период значение (ордината) равна нулю, то постоянная составляющая такой кривой также равна нулю. Среднее значение периодической кривой, состоящей из постоянной составляющей и ряда гармоник, равно постоянной составляющей.

Так, например, пульсирующая кривая (рис. 18.2в) мгновенной мощности Р цепи переменного тока с активным сопротивлением может быть разложена на постоянную составляющую и синусоиду (гармонику), изменяющуюся с двойной частотой (см. выражение (11.3)), т.е. вторую гармонику. Среднее значение такой кривой равно постоянной составляющей, т. е. активной мощности 344457(см. (11.4)).

Периодическая кривая называется симметричной относительно оси абсцисс, если на расстоянии половины периода они имеют ординаты, одинаковые по величине, но обратные по знаку (рис. 18.2а), т.е. отрицательная полуволна такой кривой предоставляет собой зеркальное изображение положительной полуволны.

Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не содержат постоянной составляющей и четных гармоник (рис. 18.1). Такая кривая содержит только нечетные гармоники:

344460

344464
Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, встречаются в электротехнике часто, например кривые тока в катушке со стальным сердечником, подключенной к сети с синусоидальным напряжением.

Периодическая кривая называется симметричной относительно начала координат, если любым двум абсциссам, имеющим одинаковое значение, но разные знаки, соответствуют ординаты, равные по величине и обратные по знаку (рис. 18.2б).

Кривые, симметричные относительно начала координат, не содержат постоянной составляющей и косинусоид. Такая кривая содержит только синусоиды:

344467

Часто встречаются кривые, симметричные относительно оси абсцисс и начала координат (кривые 1, 2, 3 и 4 таблицы 18.1). Такие кривые не содержат постоянной составляющей, четных гармоник и косинусоидальных составляющих, а содержат только нечетные синусоиды:

344468

Кривая, симметричная относительно оси ординат, изображена на рис. 18.2г. Такая кривая не содержит синусоид. Она содержит постоянную составляющую и косинусоиды:

344469

В таблице приведены несинусоидальные периодические кривые геометрически правильной формы и разложение их в ряд Фурье.

Таблица 18.1

344471

Несинусоидальный ток в линейных электрических цепях

Если к линейной цепи приложено несинусоидальное напряжение, которое раскладывается на ряд гармоник, то ток в этой цепи раскладывается на такое же количество тех же гармоник.

Если, например, к неразветвленной цепи, состоящей из R, L и С (рис. 18.3), приложено несинусоидальное напряжение

344477

то сопротивление этой линейной цепи для различных гармоник имеет различные значения.

344478

Активное сопротивление R для всех гармоник одинаковое, если пренебречь поверхностным эффектом.

Индуктивное сопротивление 344479с увеличением номера гармоники увеличивается, так как увеличивается частота 344480и для любой гармоники может быть определено выражением
344482
где 344483— номер гармоники; 344484— индуктивное сопротивление первой гармоники.

Емкостное сопротивление 344486увеличением номера гармоник уменьшается и для любой гармоники определяется выражением
344488
где 344489— номер гармоники; 344490— емкостное сопротивление первой гармоники.

Полное сопротивление неразветвленной линейной цепи для любой гармоники

344493

Угол сдвига фаз между током и напряжением для любой гармоники

344495

Очевидно, угол сдвига фаз 344496может быть положительным или отрицательным в зависимости от характера цепи для определенной гармоники 344498

Амплитуды токов для каждой гармоники равны
344499
Мгновенное значение несинусоидального тока в линейной цепи (рис. 18.3) с заданным несинусоидальным напряжением и определяется выражением

344500

Если в неразветвленной цепи включен конденсатор, а в приложенном к этой цепи несинусоидальном напряжении имеется постоянная составляющая, то ток постоянной составляющей равен нулю, так как для постоянной составляющей конденсатор представляет разрыв цепи.

Если задан несинусоидальный ток в линейной цепи и 344502гармоника тока записана

344503 VPXMLPz

то напряжение в цепи, соответствующее этой гармонике, равно

344505

Для расчета всех параметров цепи используются выражения (18.10)—(18.14).

Пример 18.1

К линейной цепи (рис. 18.3) с параметрами 344507, 344508приложено несинусоидальное напряжение

344509

Определить и записать мгновенное значение тока 344510в этой цепи.

Решение

Для определения полного сопротивления цепи вычисляются индуктивные и емкостные сопротивления для каждой гармоники (1-й, 3-й, 5-й и 7-й):

344514

344519

Тогда полные сопротивления Z гармоник:
344522
Амплитуды токов гармоник: 344523

Углы сдвига фаз для каждой гармоники:344524

Тогда мгновенное значение тока в цепи равно

344526

Из рассмотренного примера можно сделать следующий вывод. Если в линейной цепи включено только активное сопротивление R, то кривая тока будет подобна кривой напряжения. Если кроме активного в цепи имеются еще индуктивное и емкостное сопротивления, то кривая тока не будет подобна кривой напряжения. Такая цепь (рис. 18.3) для некоторых гармоник может иметь емкостной характер, например для первой и третьей гармоник в примере 18.1, так как ток опережает по фазе напряжение этих гармоник. Для некоторых гармоник — индуктивный характер, например для седьмой гармоники в примере 18.1, так как ток отстает от напряжения этой гармоники. Для одной из гармоник в разветвленной цепи с катушкой и конденсатором может быть резонанс напряжений, например для пятой гармоники в примере 18.1. Резонанс напряжений возник потому, что

344533

В разветвленной цепи с несинусоидальным напряжением с параллельно соединенными катушкой и конденсатором для одной из гармоник может возникнуть резонанс токов при равенстве реактивных проводимостей, т. е.
344534

Пример 18.2

В линейной цепи (рис. 18.3) протекает несинусоидальный ток 344535Параметры цепи:344537 344538Записать мгновенное значение напряжения 344539приложенного к этой цепи.

Решение

Определяется индуктивное и емкостное сопротивления для 1-й и 2-й гармоник:

344540

344543

Полные сопротивления Z для 1-й и 2-й гармоник будет равны

344545

Амплитуды напряжений гармоник:

344546

Углы сдвига фаз 344548для 1-й и 2-й гармоник:
344549
Мгновенное значение приложенного напряжения будет равно

344551

Действующее значение несинусоидальной величины

Действующим называют значение несинусоидального тока, эквивалентное постоянному току по тепловому действию.

При этом нужно учесть, что несинусоидальный ток складывается из постоянной составляющей и ряда гармоник:

344552

Каждая составляющая несинусоидального тока выделяет тепло в некотором элементе цепи с сопротивлением R. Воспользовавшись рассуждениями § 10.3 для определения действующих значений тока гармоник и постоянной составляющей несинусоидального тока, можно сделать вывод, что

344554

где 344556— постоянная составляющая несинусоидального тока; 344557— действующее значение токов гармоник, т.е. 344558

Таким образом, действующее значение несинусоидального тока является средней квадратичной величиной постоянной составляющей и действующих значений токов гармоник.

С учетом выражения (10.9) действующее значение несинусоидального тока можно определить по формуле

344559

Аналогично действующее значение несинусоидального напряжения определяется выражением

344560

Действующее значение несинусоидального напряжения является средней квадратичной величиной постоянной составляющей и действующих значений напряжений гармоник.

Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений измеряются амперметрами и вольтметрами электромагнитной, электродинамической и тепловой систем.

Кроме коэффициента формы 344563и коэффициента амплитуды, определение которых дано в § 10.3 (выражение (10.10) и (10.11)), несинусоидальные периодические кривые характеризуйся коэффициентом искажений 344564Коэффициент искажений определяется отношением действующего значения основной (первой) гармоники тока или напряжения к действующему значению этих несинусоидальных величин. Такое определение аналогично для ЭДС, магнитного потока и т. д.

Коэффициент искажения тока

344565

Коэффициент искажения напряжения

344566

Для синусоиды 344568

Чем меньше коэффициент искажения отличается от единицы, тем ближе к синусоиде данная кривая.

В электронике и радиотехнике несинусоидальность кривой характеризуют коэффициентом гармоник, показывающим удельный вес высших гармоник 344572относительно первой (основной) гармоники:

344573

Чем меньше коэффициент гармоник, тем ближе к синусоиде несинусоидальная кривая.

Мощность несинусоидального тока

Под активной мощностью Р несинусоидального тока понимают среднее значение мгновенной мощности (§ ll.l) за период, т. е.
344588

Проинтегрировав это выражение, получают

344590

где 344591— мощность постоянной составляющей несинусоидального тока; 344594— активные мощности гармоник несинусоидального тока.

Таким образом, потребляемая, т. е. активная, мощность в цепи несинусоидального тока определяется суммой постоянной мощности и активных мощностей гармоник.

Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока, по аналогии, определяется выражением

344595

Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока определяется суммой реактивных мощностей гармоник.

Постоянная составляющая реактивной мощности отсутствует, так как для постоянного тока колебание мощности (энергии) немыслимо.

Полная, или кажущаяся, мощность в цепях несинусоидального тока равна 344596

Следует иметь в виду, что несинусоидальный ток или напряжение не могут быть выражены при помощи векторов. Кривые несинусоидального тока и напряжения в общем случае даже не подобны. Так что невозможно применить понятие об угле сдвига фаз, принятое для синусоидальных токов.

Поэтому при изучении некоторых свойств цепей несинусоидального тока несинусоидальные токи и напряжения заменяют эквивалентными синусоидальными. Замена производится таким образом, что действующее значение синусоидального тока придется равным действующему значению заменяемого несинусоидального тока, а действующее значение синусоидального напряжения принимается равным действующему значению несинусоидального напряжения.

Тогда угол сдвига фаз 344600между эквивалентными синусоидами ряжения и тока выбирается таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощности несинусоидального тока, т.е. 344601

Откуда 344602

При этом 344603Однако для цепи несинусоидального тока в общем случае

344604

Равенство 344605(выражение (12.14)), выведенное из треугольника мощностей (рис. 12.2в), справедливо для синусоидального тока определенной частоты 344607Несинусоидальный ток складывается из нескольких синусоидальных составляющих с разными (кратными) частотами и разными углами сдвига фаз 344608между током и напряжением (определенными для каждой гармоники); т. е. для несинусоидального тока нельзя построить векторную диаграмму и прямоугольный треугольник мощностей. Поэтому выражение (12.14) для несинусоидального тока несправедливо и полная (кажущаяся) мощность не равна 344610

Пример 18.3

К линейной цепи (рис. 18.4) приложено несинусоидальное напряжение 344611Реактивные сопротивления для первой гармоники: 344612Активов сопротивления: 344613

Требуется записать мгновенное значение тока цепи 344614и определить показания всех приборов, включенных в цепь, а также коэффициент мощности цепи 344618

Решение

Так как в цепь включен конденсатор, то сопротивление цепи для постоянной составляющей несинусоидального напряжения равно бесконечности, а ток постоянной составляющей равен нулю, т. е. 344619

344637

Сопротивление цепи для 1-й и 3-й гармоник:

344639

так как 344641и 344642

Амплитуды токов гармоник:

344643

Углы сдвига фаз 344644для 1-й и 3-й гармоник:

344646

Тогда мгновенное значение несинусоидального тока цепи будет записано

344647

Показания вольтметра 344648т.е. действующее значение приложенного к цепи напряжения:

344649

так как 344650

Таким образом, первый вольтметр 344651показывает 366 В Амперметр А показывает действующее значение тока цепи

344652

Так как 344655

Таким образом, амперметр А показывает ток 16,7 А.

Для определения показаний второго вольтметра 344657вычисляют сопротивление участка АВ для 1-й и 3-й гармоник:

344658

Тогда падение напряжения для 1-й и 3-й гармоник на участке АВ будет равно

344659 VDvNDmG

Кроме того, постоянная составляющая напряжения сети 344661приложена к конденсатору. Следовательно, действующее значение напряжения на участке АВ:

344662

Таким образом, вольтметр 344663показывает 347 В. Ваттметр 344664измеряет активную мощность цепи, т. е.

344666

так как 344667

Ваттметр W показывает мощность P= 2790 Вт.

Для определения коэффициента мощности цепи 344670вычисляется полная мощность 344671

Тогда коэффициент мощности цепи

344672

Эквивалентные синусоидальным величины 344673344674.

Пример 18.4

Несинусоидальный ток в линейной цепи (рис. 18.5)
344677 344676Параметры цепи: 344678344680

Требуется: записать мгновенное значение приложенного к цепи напряжения; определить показание всех включенных в цепь приборов; определить полную S, реактивную Q мощности и эквивалентный угол сдвига фаз между током и напряжением цепи 344684

344693
Решение

Определяются индуктивное 344694и емкостное 344695сопротивления для 1-й и 3-й гармоник:

344697344698

Сопротивление цепи для 1-й и 3-й гармоник:

344699

Амплитуды напряжений сети для 1-й и 3-й гармоник:

344701.

Углы сдвига фаз для этих гармоник:

344702

Тогда мгновенное значение приложенного к цепи напряжения записывается

344704

Действующее значение приложенного напряжения:

344707

Вольтметр, включенный на входе цепи, показывает 42,7 В. Действующее значение тока:

344708

344712

Амперметр показывает ток 1,5 A.

Ваттметр показывает активную мощность в цепи потребителей, определяемую значениями

344715

344716

Вольтметр 344717показывает падение напряжения на участке цепи АВ

344718

Вольтметр 344717показывает напряжение 54,68 В.

Полная, или кажущаяся, мощность в цепи несинусоидального тока 344721

Реактивная мощность Q цепи равна

344722

Эквивалентный угол сдвига фаз 344723между током и напряжением

344725

Эквивалентные синусоидальные величины соответственно равны

344738

Электрические фильтры

Электрическая цепь, содержащая индуктивность и емкость, обладает различными сопротивлениями для различных гармоник, так как индуктивное сопротивление 344740с увеличением номера гармоники (увеличивается частота) увеличивается, а емкостное 344741уменьшается. Это дает возможность при заданной кривой напряжения изменять форму кривой тока путем включения электрического фильтра между источником и потребителем (рис. 18.6).

344747

Для того чтобы отфильтровать высшие гармоники несинусоидального напряжения, т.е. не пропустить их к потребителю, последовательно с потребителем включается индуктивность, а параллельно емкость (рис. 18.6а, б). При этом чем выше номер гармоники, тем большим сопротивлением обладает индуктивность и тем большее напряжение этой гармоники падает на индуктивном сопротивлении и тем меньшее напряжение поступает на нагрузку. Кроме того, чем выше номер гармоники (частота), тем меньше сопротивление конденсатора, тем больший ток этой частоты проходит через конденсатор, отфильтровываясь от потребителя. На рис. 18.6 показаны Г-образный фильтр (рис. 18.6а) и П-образный фильтр (рис. 18.6б).

Если нужно отфильтровать постоянную составляющую несинусоидального напряжения или его низкие частоты (гармоники), то в фильтре (рис. 18.6а, б) меняют местами индуктивность и емкость (рис. 18.6в).

Если в напряжении, поступающем на вход фильтра, имеется 344760гармоника, которую нужно отфильтровать, т. е. не пропустить к потребителю, то последовательно с потребителем можно включить параллельный резонансный контур (рис. 18.7а), настроенный в резонанс токов на частоту этой 344762гармоники. В результате чего на большом сопротивлении резонансного контура (близкого к бесконечности — при отсутствии активного сопротивления в контуре) напряжение 344763гармоники падает на контуре, не попадая на нагрузку.

Такого же эффекта можно добиться, если параллельно с потребителем включить последовательный резонансный контур (рис. 18.7б), настроенный в резонанс напряжений на частоту 344766гармоники.

При резонансе напряжений сопротивление последовательного контура мало, следовательно, уменьшается сопротивление участка АВ схемы и уменьшается напряжение 344765гармоники на нем, а следовательно, и на потребителе.

344771

Одновременное включение обоих контуров (рис. 18.7в) обеспечивает значительно лучшую фильтрацию.

Однако резонансные фильтры хорошо отфильтровывают ту гармонику, на частоту которой они настроены в резонанс.

Фильтры, в которых резонансные контуры поменяли местами (рис. 18.8 по отношению к рис 18.7), называются полосовыми и служат для того, чтобы пропустить к приемнику 344778гармонику, на которую они настроены в резонанс, и не пропустить другие гармоники.

344780

Электрические фильтры широко используются в радиотехнике, в технике сильных токов, в выпрямительной технике, в технике Проводной связи, в вычислительной технике и др.

Определение несинусоидального тока

Расчет электрических цепей, выполненный ранее, проводился в предположении, что источники энергии были либо постоянными, либо синусоидальными и вызывали в элементах цепей постоянные или синусоидальные токи. В реальных условиях кривые ЭДС, напряжения и тока лишь в определенной мере могут считаться синусоидальными, при этом указанные параметры цепей могут иметь характер периодический, квазипериодический (почти периодический) и непериодический. Это происходит из-за наличия в электрических цепях нелинейных элементов: вентиля (диода), электрической дуги, катушки со стальным сердечником (дросселем), различного рода электрических помех и т.д., которые искажают синусоидальный сигнал, приводя к появлению несинусоидальных токов и напряжений. Кроме того, сам источник энергии может являться генератором несинусоидальной ЭДС. На рис. 7.1 представлены варианты данных сигналов.

292058

Рис. 7.1. Примеры несинусоидальных периодических сигналов

Так как рассматриваем линейные цепи, то появление несинусоидальных токов и напряжений обусловлено в этой главе наличием несинусоидальных источников напряжения.

Разложение периодической функции в тригонометрический ряд

Во всех задачах, где приходится иметь дело с периодическими несинусоидальными функциями токов, ЭДС и напряжений, необходимо свести их к более простому виду, для которого возможно применение известных методов расчета. Процессы, происходящие в линейных электрических цепях при несинусоидальных токах и напряжениях, удобнее всего рассчитывать, если воспользоваться тригонометрическим рядом Фурье. В общем случае выражение этого ряда имеет вид:

292061

Все остальные слагаемые носят название высших гармоник ряда. Период каждой из них кратен периоду основной гармоники. Сделаем преобразование ряда, раскрыв синус суммы:

292072

Коэффициенты ряда определяются по следующим формулам:

292073

Выражения для коэффициентов ряда позволяют получить разложение в ряд любой периодической несинусоидальной функции, однако для большинства таких функций, которые используются в электрических цепях, эти разложения уже получены и могут быть взяты в соответствующей справочной литературе.

Состав элементов ряда может быть упрощен, если вид исходной функции обладает тем или иным видом симметрии, что иллюстрируется рис. 7.2.а).

a) 292078— функция симметрична относительно оси абсцисс.

292089

Рис. 7.2. Виды симметрии периодических функций

Разложение в ряд такой функции не содержит постоянной составляющей и четных гармоник:

292094

b) 292096— функция симметрична относительно оси ординат.

В этом случае ряд не содержит синусных составляющих:

292098

c) 292100— функция симметрична относительно начала координат.

Такая функция не содержит постоянной составляющей и косинусных составляющих:

292101

Амплитудное, среднее и действующее значения периодических несинусоидальных функций

Эти понятия аналогичны тем, которые были введены применительно к синусоидальным колебаниям, но в то же время они имеют свою специфику.

292123

Рис. 7.3. График несинусоидальной функции

Среднее по модулю значение:

292127

292129

Последний из приведённых параметров относится к наиболее важным параметрам несинусоидальных периодических функций, поскольку именно эта величина измеряется приборами. Будем считать, что функция 292131задана рядом (7.1), тогда:

292133

Второе слагаемое при интегрировании за полный период 292135обращается в ноль ввиду симметрии синусоидальных функций, таким образом:

292137

где 292139 KWScHKm— действующее значение каждой из гармоник.

292140

Например, действующие значения несинусоидального напряжения определятся выражением:

292144

Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических функций

Для оценки несинусоидальных периодических функций в электроэнергетике вводят коэффициенты формы 292148амплитуды 292149и искажения 292150

Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения функции к ее среднему по модулю значению:

292152

292154

Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения функции к ее действующему значению:

292156

Для синусоиды 292161

Коэффициент искажений определяется отношением действующего значения первой гармоники к действующему значению всей кривой:

292166

Для синусоиды 292167

В электронике для оценки искажений пользуются коэффициентом гармоник, который определяется отношением действующего значения высших гармоник к действующему значению первой гармоники:

292170

Для синусоиды 292174

В электроэнергетике вводят понятие практически синусоидальной кривой. Если действующее значение высших гармоник в напряжении промышленной сети не превышает 5% от действующего значения гармоники основной частоты, то такое напряжение считается практически синусоидальным.

При коэффициенте формы 292190сильно отличающимся от 1,11, погрешность приборов выпрямительной системы становится значительной.

Мощность периодических несинусоидальных токов

Для определения активной мощности 292193выделяемой на приемниках, воспользуемся формулой мгновенной мощности 292204где 292205и 292208заданы соответствующими рядами Фурье. Тогда 292211определяется по выражению:

292214

Используя известное тригонометрическое тождество:

292220 Q8TCXen

292223

Искомая активная мощность:

292224 nyXn3Vp

Аналогично определяется реактивная мощность:

292227

Полная мощность рассчитывается по формуле:

292229

лишь в том случае, если спектры тока и напряжения совпадают. При несовпадении спектров этих функций:

292231

где 292232— мощность искажения, обусловленная несовпадением спектров тока и напряжения.

Полную мощность целесообразно рассчитывать по формуле:

292233

Для цепей с несинусоидальными источниками аналогично синусоидальным цепям вводят понятие коэффициента мощности:

292234

где 292237 CLEBQATнекоторый фиктивный угол между эквивалентными синусоидами тока и напряжения, определяемый из соображения равенства активной мощности эквивалентного синусоидального тока и активной мощности несинусоидального тока.

Несинусоидальные функции времени с периодической огибающей

В отличие от периодических функций, рассмотренных выше, существуют несинусоидальные кривые с периодическими или почти периодическими огибающими. Для них характерно то, что они имеют конечное число слагаемых в разложении исходного ряда. Причем частоты огибающих и составляющих ряда несоизмеримы. Классическими примерами таких функций являются биения и модуляция.

Биения

Функция биения представляет собой сумму двух синусоидальных колебаний, имеющих одинаковые амплитуды и близкие, но не равные частоты.

292242

причем 292243

Сумма этих функций:

292249

292251

292252

Рис. 7.4. График функции биения

В общем случае период биений 292260не равен периоду кривой 292262

Однако если отношение 292265составляет целое нечетное число, то период биений совпадает с периодом кривой 292266и она является периодической.

Если отношение периодов биений и огибающей не равно целому числу, то результирующее колебание является квазипериодическим.

Модуляция

Синусоидальные колебания характеризуются тремя основными параметрами: амплитудой, частотой и начальной фазой. Если один из этих параметров медленно меняется во времени по некоторому периодическому закону, то говорят об амплитудной, частотной или фазовой модуляции. Рассмотрим данное явление на примере амплитудной модуляции, которая может быть представлена функцией вида:

292268

где 292270— меняется по некоторому периодическому закону:

292271

где 292272— несущая частота; 292275— модулирующая частота; 292278— коэффициент (глубина) модуляции.

Параметр 292279показывает отклонение амплитуды модулирующего колебания от некоторого среднего значения. Выполним для рассматриваемой функции простейшие преобразования:

292281 iETO66S

В результате модулированные по амплитуде колебания являются суммой трех колебательных составляющих. Одного с несущей частотой 293298и двух других с боковыми частотами 292282и 292283График модулированного по амплитуде колебания приведен на рис. 7.5.

292285

Рис. 7.5. График модулированных по амплитуде колебаний

Этот вид модуляции далеко не лучший, поскольку он в наибольшей степени подвержен помехам. Для повышения помехоустойчивости используются комбинированные методы модуляции.

Резонансные явления в цепях с несинусоидальными источниками

Рассматривая однофазные синусоидальные цепи, мы познакомились с явлением резонанса. Указанное явление имеет место и в цепях с несинусоидальными источниками, однако в этом случае оно имеет определенную специфику, связанную с тем, что резонанс может возникнуть как на основной частоте, так и на высших гармониках.

Для последовательного контура в цепях с несинусоидальным источником условие резонанса будет задано соотношением:

292300

Ток в цепи на 292303ой гармонике можно рассчитать по формуле:

292305

Меняя, например, индуктивность 292314от 0 до 292310для каждой из гармоник при некотором значении частоты и фиксированной 292315можно получить резонансный режим. Пунктирной кривой показана результирующая зависимость 292318

292319

Рис. 7.6. Зависимость тока от индуктивности в цепи с несинусоидальным источником напряжения

Методика расчета цепей с несинусоидальными источниками

Комплексные решения, полученные для каждой из гармоник, складывать нельзя. Эту процедуру мешает выполнить то обстоятельство, что соответствующие полученным решениям векторы будут вращаться с различными угловыми частотами. Поэтому полученные комплексные решения должны быть переведены в реальные функции времени и лишь затем представлены в виде суммы (ряда Фурье) на основании принципа наложения.

Пример:

На цепь, схема которой изображена на рис. 7.7 b подаётся несинусоидальное напряжение 292462(см. рис. 7.7а) амплитудой 292466 292468Определить действующее значение напряжения на выходе, ограничиваясь первыми тремя членами ряда, в который можно разложить функцию 292487

Примечание. Величины индуктивного и емкостного сопротивлений заданы для первой гармоники.

292491

Рис. 7.7. Форма подводимого напряжения (а) и схема исследуемой цепи (b)

Используя известное разложение для заданного напряжения 292496получим:

292498

Для определения функции выходного напряжения составим передаточную функцию исходной цепи 292499которая связывает входное и выходное напряжения и является частотно-зависимой:

292503

Определим 292511для значений 292517

При 292525

При 292530

Полученный результат показывает, что амплитуда выходного сигнала для второй гармоники равна амплитуде входного. Фаза выходного напряжения на этой же гармонике опережает фазу входного напряжения на 90°.

При 292537

Используя полученные значения функции 292539представим выходное напряжение в виде ряда:

292540

Итоговое действующее значение напряжения 292543будет:

292545

Высшие гармоники в трёхфазных цепях

Рассмотрим поведения высших гармоник в трёхфазных системах. При этом будем полагать, что фазные напряжения источника не содержат постоянных составляющих и четных гармоник, т.е. кривые напряжения симметричны относительно оси абсцисс, которые на практике встречаются наиболее часто.

Пусть напряжение фазы 292546источника, разложенное в ряд Фурье, имеет вид:

292548

При записи напряжений фаз 292549и 292551учтем, что фаза 292549отстает от фазы 292553на 292555а фаза 292558опережает фазу 292553на 292555тогда:

292620

Для гармоник кратных трем 292631где 292635— целое число) напряжения во всех фазах совпадают по величине и направлению, т.е. они образуют нулевую последовательность фаз.

Если номер гармоники 292641то напряжения образуют систему прямой последовательности фаз, когда напряжение 292642отстает от 292643на угол 292646а 292648опережает 292649на такой же угол. Для гармоник с номером 292651напряжения образуют систему обратной последовательности фаз, когда 292654опережает 292655на 292657a 292662отстает от 292661на этот же угол.

На рис. 7.8 показаны симметричные составляющие соответствующих систем напряжений в трёхфазных цепях.

292666

Рис. 7.8. Симметричные составляющие системы несинусоидальных напряжений в трёхфазных цепях

Способ соединения фаз генератора и нагрузки звездой

В линейных напряжениях, определяемых как разность соответствующих фазных напряжений, гармоники напряжений, кратные трем, отсутствуют, поэтому при несинусоидальных напряжениях:

292668

При наличии нулевого провода при симметричной нагрузке ток в нулевом проводе не равен нулю (гармоники тока кратные трем, образуют нулевую последовательность):

292670

Гармоники тока, не кратные трем, в сумме дают нуль.

При отсутствии нулевого провода сумма фазных токов должна равняться нулю, поэтому в фазных токах гармоники, кратные трем, отсутствуют. Тогда между нулевыми точками источника и приемника возникает напряжение смещения, которое можно определить методом двух узлов:

292672

Для гармоник напряжений, не кратных трем, при симметричной нагрузке смещение нейтрали 292675Следовательно, вольтметр, включенный между нулевыми точками источника и приемника, покажет значение:

292676

Способ соединения фаз генератора и нагрузки треугольником

При наличии в ЭДС гармоник, кратных трем, они образуют систему нулевой последовательности, поэтому результирующая ЭДС гармоник, кратных трем при соединении фаз треугольником, равна утроенной ЭДС одной фазы.

При этом вольтметр, включенный в разрыв обмоток (рис. 7.9), покажет напряжение:

292679

Если обмотки генератора соединить треугольником, то под действием ЭДС с номерами гармоник кратных трем возникают соответствующие гармоники тока. Результирующий ток в обмотках создает падения напряжения на сопротивлениях обмоток, которые, в свою очередь, уравновешивают ЭДС.

292689

Рис. 7.9. Включение вольтметра в разрыв обмоток источника

Рассмотрим разность потенциалов на зажимах любой фазы источника, например, на фазе 292694

292697

Таким образом, вольтметр, подключенный к любой фазе источника, образующего замкнутый треугольник, уже не будет содержать гармоник напряжения, кратных трем, и поэтому в нагрузке гармоники напряжения и тока, кратные трем, отсутствуют.

Уравнительный ток в обмотках генератора, вызванный гармониками тока кратными трем, вызывает дополнительный нагрев, поэтому фазы генератора обычно соединяют звездой.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector