чему равно математическое ожидание постоянной величины равно

Математическое ожидание случайной величины

Содержание

Математическое ожидание случайной величины [ править ]

Определение:
Математическое ожидание (англ. mean value) [math] \left( E\xi \right) [/math] — мера среднего значения случайной величины, равная [math]E\xi = \sum \xi(\omega) \cdot p(\omega)[/math]
Доказательство: [math]\triangleright[/math] [math]\sum\limits_a \sum\limits_ <\omega|\xi(\omega) = a>\xi(\omega) \cdot p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot \sum\limits_<\omega|\xi(\omega)=a>p(\omega) = \sum\limits_a a \cdot p(\xi = a)[/math] [math]\triangleleft[/math]

Пример [ править ]

Пусть наше вероятностное пространство — «честная кость»

[math] E\xi = 1\cdot \dfrac<1><6>+2\cdot \dfrac<1> <6>\dots +6\cdot \dfrac<1> <6>= 3.5[/math]

Свойства математического ожидания [ править ]

Утверждение (о матожидании случайной величины на событии вероятности нуль):

Линейность математического ожидания [ править ]

Использование линейности [ править ]

Рассмотрим три задачи.

Пример 1 [ править ]

Найти математическое ожидание суммы цифр на случайной кости домино.

Получаем ответ [math]E(\xi+\eta)=2E(\xi)=6[/math]

Пример 2 [ править ]

Итоговый результат: [math]E(\xi)=<\sum_^n \limits>E(\xi^i)=\dfrac [/math]

Пример 3 [ править ]

Пусть [math] \xi [/math] — случайная величина, которая возвращает количество инверсий в перестановке.

Очевидно, что вероятность любой перестановки равна [math] \dfrac<1> [/math]

Докажем, что количество инверсий в этих двух перестановках равно [math] \dfrac <2>[/math]

Примеры распределений [ править ]

Распределение Бернулли [ править ]

Случайная величина [math]\xi[/math] имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: [math]1[/math] и [math]0[/math] с вероятностями [math]p[/math] и [math]q \equiv 1-p[/math] соответственно. Таким образом:

[math]P(\xi = 1) = p[/math] [math]P(\xi = 0) = q[/math]

Тогда несложно догадаться, чему будет равно математическое ожидание:

[math]E(\xi) = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p[/math]

Гипергеометрическое распределение [ править ]

Гипергеометрическое распределение в теории вероятностей моделирует количество удачных выборок без возвращения из конечной совокупности.

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из [math]N[/math] элементов. Предположим, что [math]D[/math] из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся [math]N-D[/math] этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из [math]n[/math] элементов. Пусть [math]a[/math] — случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности [math]a[/math] имеет вид:

где [math]C_n^k \equiv \dfrac[/math] обозначает биномиальный коэффициент.

Формула математического ожидания для гипергеометрического распределения имеет вид:

Источник

Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

image747

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

image748

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

image749

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

image750

Это свойство также справедливо для произвольного числа случайных величин.

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

image751

Однако математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.

Это отклонение равно разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При этом математическое ожидание отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль.

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

image752

3. Вычисление дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

image753

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

image754

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

image755

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

image756

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

image757

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

Источник

Математическое ожидание

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Их свойства и примеры.

Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность веро-ятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач доста-точно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный во-прос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.

Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то image166, если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов.

Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучай-ная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непре-рывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. image168Тогда

image170

Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд ее распределения имеет вид:

Х п
р 0,5 (0,5) 2 (0,5) п

Тогда image172..+

+ image174(при вычислении дважды использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: image176, откуда image178).

Свойства математического ожидания.

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину, принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С?1 = С.

2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределения

xi x1 x2 xn
pi p1 p2 pn

то ряд распределения для СХ имеет вид:

Сxi Сx1 Сx2 Сxn
pi p1 p2 pn

Определение 7.2. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероят-ности равны произведениям вероятностей сомножителей.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Y принимают только по два возможных значения:

xi x1 x2
pi p1 p2
уi у1 у2
gi g1 g2

Тогда ряд распределения для XY выглядит так:

ХY x1y1 x2y1 x1y2 x2y2
p p1g1 p2 g1 p1g2 p2g2

Замечание 1. Аналогично можно доказать это свойство для большего количества возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимых случайных величин, что доказывается методом математической индукции.

Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

640 1

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равна сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броске пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:

М(Х1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)image180Тому же числу равно математическое ожидание числа очков, выпавших на любой кости. Следовательно, по свойству 4 М(Х)=image182

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y, заданные рядами распределения вида

Х
р 0,1 0,8 0,1
Y
p 0,5 0,5

Найдем М(Х) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Как видно, мате-матические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает пове-дение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (при-чем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отсто-ят от М(Y). Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия.

Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных) в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:

(1 – 2,4) 2 = 1,96; (2 – 2,4) 2 = 0,16; (3 – 2,4) 2 = 0,36. Следовательно,

image184

Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:

Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания, преобразуем формулу (7.6) к виду:

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Определение 7.6. Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

image186. (7.12)

Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно image188

Источник

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через sluchainaya velichina clip image002*, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, sluchainaya velichina clip image004.

* Иногда используют sluchainaya velichina clip image006, а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

sluchainaya velichina clip image008– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина sluchainaya velichina clip image008 0000может принять одно из следующий значений:

sluchainaya velichina clip image010.

sluchainaya velichina clip image012– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

sluchainaya velichina clip image014, либо sluchainaya velichina clip image016мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

sluchainaya velichina clip image018– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро речь идёт о множестве действительных чисел, то случайная величина sluchainaya velichina clip image018 0000может принять несчётно много значений из некоторого числового промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:
sluchainaya velichina clip image020
Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина sluchainaya velichina clip image008 0001обязательно примет одно из значений sluchainaya velichina clip image022, то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:
sluchainaya velichina clip image024

или, если записать свёрнуто:
sluchainaya velichina clip image026

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:
sluchainaya velichina clip image028

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:
sluchainaya velichina clip image030

Найти sluchainaya velichina clip image032

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина sluchainaya velichina clip image034может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:
sluchainaya velichina clip image036

Разоблачаем «партизана»:
sluchainaya velichina clip image038
sluchainaya velichina clip image040– таким образом, вероятность выигрыша sluchainaya velichina clip image042условных единиц составляет 0,4.

Контроль: sluchainaya velichina clip image044, в чём и требовалось убедиться.

Ответ: sluchainaya velichina clip image046

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины sluchainaya velichina clip image048– размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно sluchainaya velichina clip image050рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
sluchainaya velichina clip image052– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша sluchainaya velichina clip image054рублей составляет:
sluchainaya velichina clip image056

И для sluchainaya velichina clip image058:
sluchainaya velichina clip image060

Проверка: sluchainaya velichina clip image062– и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:
sluchainaya velichina clip image064

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна sluchainaya velichina clip image066. Составить закон распределения случайной величины sluchainaya velichina clip image068– количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина sluchainaya velichina clip image008 0002принимает значения sluchainaya velichina clip image022 0000с вероятностями sluchainaya velichina clip image072соответственно. Тогда математическое ожидание sluchainaya velichina clip image074данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

sluchainaya velichina clip image076

или в свёрнутом виде:
sluchainaya velichina clip image777

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины sluchainaya velichina clip image008 0003– количества выпавших на игральном кубике очков:

sluchainaya velichina clip image078очка

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:
sluchainaya velichina clip image080

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

sluchainaya velichina clip image082, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины sluchainaya velichina clip image008 0004– его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина sluchainaya velichina clip image008 0005задана своим законом распределения вероятностей:
sluchainaya velichina clip image085

Найти sluchainaya velichina clip image087, если известно, что sluchainaya velichina clip image089. Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Пример 3. Решение: по условию sluchainaya velichina clip image066 0000– вероятность попадания в мишень. Тогда:
sluchainaya velichina clip image092– вероятность промаха.

Составим sluchainaya velichina clip image068 0000– закон распределения попаданий при двух выстрелах:

sluchainaya velichina clip image094– ни одного попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
sluchainaya velichina clip image096

sluchainaya velichina clip image098– одно попадание. По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения независимых событий:
sluchainaya velichina clip image100

sluchainaya velichina clip image102– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
sluchainaya velichina clip image104

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ: sluchainaya velichina clip image106

Примечание: можно было использовать обозначения sluchainaya velichina clip image108– это не принципиально.

Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:
sluchainaya velichina clip image110
Вычислим математическое ожидание:
sluchainaya velichina clip image112
Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:
sluchainaya velichina clip image114
поменяем части местами и проведём упрощения:
sluchainaya velichina clip image116
таким образом:
sluchainaya velichina clip image118

Выполним проверку:
sluchainaya velichina clip image120
sluchainaya velichina clip image122, что и требовалось проверить.

Ответ: sluchainaya velichina clip image124

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector