чему равно математическое ожидание суммы случайных величин

Содержание

Digiratory

Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов

325px normal distribution pdf1

Основные свойства математического ожидания и дисперсии

В заметке рассмотрены основные свойства математического ожидания и дисперсии с доказательствами.

В статье приняты следующие обозначения:

\(a \) — неслучайная величина (константа)

\(X, Y \) — случайные величины

\(M[X]\) — Математическое ожидание X

Математическое ожидание

Математическое ожидание неслучайной величины

Доказательство:

Доказать, это достаточно очевидное, свойство можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

Математическое ожидание линейно

Доказательство вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания

Доказательство прямо следует из линейности суммы и интеграла.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин — как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых.

Для дискретных величин

\[ M[aX] = \sum_ a x_i p _i = a \sum_ x_i p_i = a M[X]\]

Для непрерывных величин

\[ M[aX] = \intop_< \infty >^ <\infty>a x f(x) dx = a \intop_< \infty >^ <\infty>x f(x) dx = a M[X]\]

Доказательство математического ожидания суммы случайных величин

а) Пусть \((X, Y) \) — система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:

\[ M[X + Y] = \sum_ \sum_ (x_i + y_i) p_ \\
= \sum_\sum_ x_i p_ + \sum_\sum_ y_i p_ \\
= \sum_ x_i\sum_ p_ + \sum_ y_j\sum_ p_ \]

Но \(\sum_ p_ \) представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина \(X \) примет значение \(x_i \):

\[ \sum_ p_ = P(X = x_i) = p_i \]

\[ \sum_ x_i\sum_ p_ = \sum_ x_i p_i = M[X] \]

Аналогично докажем, что

б) Пусть \((X, Y) \) — система непрерывных случайных величин.

\[ M[X + Y] = \int \intop_< \infty >^ <\infty >(x+y) f(x,y) dx dy = \int \intop_< \infty >^ <\infty >x f(x,y) dx dy + \int \intop_< \infty >^ <\infty >y f(x,y) dx dy \]

Преобразуем первый из интегралов:

Математическое ожидание произведения

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

для независимых величин:

Доказательство

Будем исходить из определения корреляционного момента:

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

\[ cov(X,Y) = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] = \\
M[XY] — M[X] M[Y] — M[Y]M[X] + M[X]M[Y] = \\
M[X Y] — M[X] M[Y] \]

что, очевидно, равносильно доказываемому соотношению

Дисперсия

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания.

Дисперсия не зависит от знака

Дисперсия суммы случайной и постоянной величин

Дисперсия неслучайной величины

Доказательство:

По определению дисперсии:

\[ D[a] = M[\stackrel< \circ >] = M[a — M[a]^2 ] = M[(a-a)^2] = M[0] = 0\]

Дисперсия суммы случайных величин

\[ D[X+Y] = D[X] + D[Y] + 2*cov(X,Y) \]

Доказательство:

По теореме сложения математических ожиданий:

Перейдем от случайных величин \(X, Y, Z \). к соответствующим центрированным величинам \(\stackrel< \circ >, \stackrel< \circ >, \stackrel< \circ > \), имеем:

По определению дисперсии

Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную

Доказательство:

По определению дисперсии

\[ D[aX] = M[(a X — M[a X])^2] = M[(a X — a M[X])^2] = a^2 M[(X — M[X])^2] = c^2 D[X] \]

Дисперсия произведения независимых величин

\[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] + (M[Y])^2 D[X]\]

Доказательство:

Обозначим \(XY = Z \). По определению дисперсии

Так как величины \(XY\) независимы, то \(M[Z] = M[X]M[Y]\) и

При независимых \(XY\) величины \(X^2Y^2\) также независимы, следовательно:

\[ M[X^2 Y^2] = M[X^2] M[Y^2], M[XY] = M[X]M[Y]\]

Подставляя эти выражения и приводя подобные члены, приходим к формуле

\[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] + (M[Y])^2 D[X]\]

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник

По определению математического ожидания находим. Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их ожиданий

image080. image048

Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их ожиданий

image082.

Доказательство. Будем для простоты считать, что законы распределения случайных величин image052и image085заданы соответственно таблицами

Таблица 3. Таблица 4.

image090

image097

image052 image002 image004 image085 image093 image095
image010 image012 image014 image010 image102 image104

Тогда по определению математического ожидания

image106, image108.

Сумма случайных величин image110будет иметь закон распределения вида

Таблица 5.

image110 image113 image115 image117 image119
image010 image121 image123 image125 image127

По определению находим математическое ожидание суммы двух случайных величин

image129.

Раскроем скобки и перегруппируем члены, получим

image131

image133. ●

Свойство 3 можно распространить с помощью метода математической индукции на случай image135случайных величин.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин image137равно сумме их ожиданий

image139. ●

Свойство 5. Математическое ожидание разности случайных величин image052и image085равно разности их ожиданий

image141.

Доказательство. Воспользовавшись свойствами 2 и 3 математического ожидания, имеем

image143. ●

Свойство 6. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их ожиданий

image145.

Доказательство. Пусть как и в свойстве 3 законы распределения случайных величин image052и image085заданы соответственно таблицами 3 и 4.

Произведение этих случайных величин будет иметь закон распределения вида

Таблица 6.

image147 image149 image151 image153 image155
image010 image121 image123 image125 image127

По определению находим математическое ожидание произведения image157.

image159

Методом математической индукции свойство 6 можно расширить на произведение любого конечного числа независимых случайных величин.

Свойство 7. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин image137равно произведению ожиданий

image161. ●

Замечание. Отметим, что свойства 3 и 4 имеют место как для независимых, так и для зависимых случайных величин, а свойства 5 и 6 справедливы только для независимых случайных величин.

Определение. Разность image163называется отклонением случайной величины image052от ее математического ожидания.

Из определения следует, что отклонение случайной величины image163является случайной величиной.

Свойство 8. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю

image166.

Доказательство. По свойствам 5 и 1 математического ожидания находим

image168. ●

Это свойство объясняет, почему математическое ожидание часто называют центром распределения случайной величины.

Свойство 9. Математическое ожидание среднего арифметического значения случайных величин равно среднему арифметическому значению их математических ожиданий

image170.

Доказательство. Воспользуемся свойствами 2 и 4 математического ожидания, имеем

image172. ●

Пример. Случайные величины image052и image085заданы законами распределения

Таблица 7. Таблица 8.

image052 4 6 image085 1 3
image010 0,3 0,7 image010 0,2 0,8

Найти математическое ожидание случайной величины image174.

Решение. Найдем по определению математические ожидания случайных величин image052и image085

image176 image178.

Для того, чтобы найти математическое ожидание случайной величины image180, воспользуемся свойствами 1, 2, 3, 5 математических ожиданий

image182

Дисперсия и ее свойства

Важное значение для характеристики случайных величин имеет дисперсия.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

image184.

Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания.

Из определения следует, что дисперсия – это постоянная величина, т.е. числовая характеристика случайной величины, которая имеет размерность квадрата случайной величины.

С вероятной точки зрения дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину, которая имеет конечное множество значений. Тогда, согласно определению, дисперсия вычисляется по формуле

image186. (2)

Если дисперсия image188мала, то из формулы (2) следует, что малы слагаемые image190. Поэтому если не рассматривать значения image192, которым соответствует малая вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения image194мало отклоняются от математического ожидания image196. Следовательно, при малой дисперсии возможные значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, может быть, сравнительно малого числа отдельных значений). Если дисперсия image188велика, то это означает большой разброс значений случайной величины, концентрация значений случайной величины около какой-нибудь центра исключается.

Пример 1. Пусть случайные величины image052и image085имеют следующее законы распределения

Таблица 9. Таблица 10.

image052 -0,1 0 0,1 0,4 image085 -10 0,5 10
image010 0,3 0,15 0,3 0,25 image010 0,4 0,2 0,4

Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим

image201.

image203.

С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величин

image205 image207.

Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин image052и image085одинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величины image052мала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания image209. Напротив, значения случайной величины image085значительно рассеяны относительно image211, а поэтому дисперсия image213имеет большое значение. ●

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

image215.

Доказательство. Если image217постоянная величина, то по свойству 1 математиче-ского ожидания image219, а поэтому

image221. ●

Свойство 1 очевидно с вероятной точки зрения: так как постоянная величина изображается одной точкой на числовой оси image223, т.е. не имеет рассеяние, то и мера рассеяния постоянной величины image225.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

image227.

Доказательство. Из определения дисперсии и свойства 2 математического ожидания получаем

image229

image231. ●

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

image233.

Доказательство. Воспользуемся определением дисперсии и свойствами 3, 2 математического ожидания, имеем

image235

image237(3)

Определение. Математическое ожидание произведения отклонений случайных величин image052и image085 от их математических ожиданий называется корреляционным моментомэтих величин

image239.

Если случайные величины, величины image052и image085независимы, то воспользовавшись свойствами 6 и 7 математических ожиданий, находим

image241.

Поэтому из формулы 3 имеем

image243,

откуда окончательно следует

image245. ●

С помощью метода математической индукции это свойство может быть распространено на случай любого конечного числа независимых случайных величин.

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин image137равна сумме их дисперсий

image248. ●

Свойство 5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин

image250.

Доказательство. На основании свойств 2 и 3 дисперсии имеем

image252. ●

Свойство 6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию

квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания

image254.

(Эта формула применяется для вычисления дисперсии)

Доказательство. Воспользовавшись свойствами 1,2,3,5 математического ожидания, находим

image256

image258. ●

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 1015 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector