чему равно наименьшее значение выражения

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

image010

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

image011

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

image012

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Решение:

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

image023

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

image054

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции

Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^, n∈N$
$<1>/$ $-<1>/$
$<1>/x<^n>, n∈N$ $-/>, n∈N$
$√^n, n∈N$ $<1>/>, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ $<1>/$
$ctgx$ $-<1>/$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ $<1>/$
$log_x$ $<1>/$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Источник

Чему равно наименьшее значение выражения

а) Можно ли при n = 5 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a2 = a5?

б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, сумма которых равна 2020?

в) При n = 10 на доске написаны такие числа, сумма которых равна 15. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

а) Пусть такие числа написаны. Поскольку по условию выполнены равенства a741266b3eacc7cff7d5f30d84613606и 2acbb7b7deb7444064c95819bdffb858получаем

4b0a3352183da09909d116238c31216e

Следовательно, если также выполняется равенство 16c2cf9c91b0660b1f25c7d44b900d20то 68a83a8eb5907c65bb09504de919b557Пришли к противоречию.

б) Пусть такие числа написаны. Поскольку при каждом натуральном числе f9d0000d52fd536200fef5554fedaa96по условию выполнены равенства 1360cabe819894c135f5da0816249393и b5c8e33fd91abcc9f6a5277acc6f8a2cполучаем

070e2f816f7a73c4be32a4cb34e8320c

651a6c7b59dd75727dd0a06f6a422612

при каждом натуральном числе 65f72d928f5fa692a1fc8524d57eceebЗначит,

37a2bd9481475d8d145477d387ead281

При ba837bae840fe45665fe5f53cf0ef408 8a8c6a39b8f3f7d68f402edf44a094a2 50eb31b0f27f3815891fdb37cb39fbc1и da3f465666ed2d3256b3dfa24e497a7dпри каждом натуральном числе f31867620cf738e63e1012db496be0d6имеем

e31c88add5f3a55f184b0ae781c35fa1

в) Пусть такие числа написаны. Аналогично доказанному в п. б) получаем

bb1f7fc2358f2574795fbe7850ced831

68b78d27d4ce8a085488a7ade9655b6e

b72528529449dd7804336de812568c5e

Значит, сумма квадратов всех написанных чисел будет минимальна тогда и только тогда, когда максимально выражение 88686936b675085782a627eee61de49aПоскольку функция dae984b4716c1cf3b4e21c0d4680e879возрастает при f0c5040b4c0f540e667b14e6b2aa3aa7и убывает при 42bb4bd9a6933981168de88d76315dcfнаибольшее значение выражения f77b7d92505afdd7da41465af0596a4bдля целых 30c872662b356aa720d1971361b45724равно 56. Оно достигается при bdf40e3efa9296af40a66a79dd4a90afи 6750714baed73234d6cecbbb9bc8555cТаким образом, получаем, что сумма квадратов всех написанных чисел принимает наименьшее значение при b012038b12e7abb46f2bb2ffcd59bbe1 b02fa0711e92adb6565721af28339790 1aee5fd1942997218738154a6fa47967и da3f465666ed2d3256b3dfa24e497a7dпри каждом натуральном числе 7ced4f14b27c26e83670194672b0c002а также при fe58e979df9390ad7cfdf02bbce620ac f27aafa6023c7d39551e60e12a5033b9 da38177a9909e851eb7b8d072b580440и da3f465666ed2d3256b3dfa24e497a7dпри каждом натуральном числе b9797851f3b1d68f4cb3f3b6daf409feЭто значение равно

6678b49f530d3a13b21b3c79e14c2d2c

Ответ: а) нет; б) да; в) 343.

Аналоги к заданию № 561735: 561776 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции 388e95f1eb9ad76b59b7d812932b3effна отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство 9de864eb5475509998be9aa31c3d5155должно выполняться на всем промежутке 569626687e72361606a30031fdf74aacТо есть

faa3e93042c6b067944d451f1dc8a847

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

b6af4e6d08b34f75c2fcf2f6ab6fb4c6(верно при 46686982b0e322767fb8ff34d1839027),

a5ec5d4364554f7a815876484b1db57e(верно при 38ac6fdca47f6cfbb9acf4d5fe10e4e0),

b9a5b7044e2f6df2063eb4c6ed1ad1bd(верно при cd58d763b11db0085d99983a1ff8730b).

eb411053eaec385240d9b2edd7505f73при 2910e9ea25a71ae5d3f5d140ade548a2то есть при d80bc51cd6edb14a77093f56f26ce2b4(нас не интересует, поскольку уже установлено что ffd56e8247d7f76f536d6950e33f5e93

ece519f30ccdfb172be557154116ea05при f5685b49696ec746b053701060bdff6bто есть при 01142f224ac67f767eb63a85d6cd1716(то есть это обязательно надо проверить, при ffd56e8247d7f76f536d6950e33f5e93указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

5cabbeb94f2d6391b8726b4c352915cf

a1cc814d36776cf5c73664343f15e82a

f36c27718fe8ec0b6a9b47fc244e0ad0

093cbfe7f7ac769270d1d2c086176b74

54f94f4311a2dff35dac2b9afdc45e82

Итак, совмещая все ограничения, получаем 5c1390d86623dca90250892ec185bb60

Ответ: 5c1390d86623dca90250892ec185bb60

Найдите все значения параметра 3ded2184a3e467984dba5788f82cc430при каждом из которых наименьшее значение функции f84d8d40b870e0dd5ebdab137c081af4больше 1.

При 1750c280586e427c6c36a61aa49cfdd3получаем, что 564055d0ed86cd15510894ccd343291cГрафик этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 6f7595444c7e866aa999d2b5c244f640При 818ded9f49e640457bc6d18960c1ebb1находим fe113d652ef7ecb90218d8c136331eb5а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Наименьшее значение функции 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62может принять только в точках 52634a5ce8aca5756be2274cf2f12b91 dad1533ece96bb22f10da231df9680a5или 6f7595444c7e866aa999d2b5c244f640Поэтому наименьшее значение функции 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62больше 1 тогда и только тогда, когда:

ca2d9e0dfd7c2db5434e4aba26732f0b

Если e26192ec13836c5d5978e25e67f8afa0то второе неравенство принимает вид 7027b83e7932055ef20545611cb72f3bоткуда 4be4a93a308de420591d2fb2d1aa7f37Этот промежуток содержит интервал 533f0703a91b44d10a97e60c739f9098

Если 0da88c54fe13d31f82f32974093a4383то 9ff32ad066818f3a2525b6455f1e1dcaоткуда d311891241dd3f78f371a636f9501671Значит, a81a692b04cfd4b18bd42d06aebd6eef

Объединяя найденные промежутки, получаем: b62ba786c299151cc6bcaeda8e14890a

Ответ: b62ba786c299151cc6bcaeda8e14890a

Приведём другое решение.

1. При 56aa9d5704c0bf380678808253656804функция принимает вид: 0437fb25fd92865655a165b5e82ccc33а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии 6f7595444c7e866aa999d2b5c244f640

При 818ded9f49e640457bc6d18960c1ebb1функция принимает вид: f5094c1263f690d6532e9fd6e5f2e3efа ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии f29f7b8ec1b71c1962fa387c48920bf1

Возможные виды графика функции 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62показаны на рисунках.

2. Наименьшее значение функция 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62может принимать только в точках a255512f9d61a6777bd5a304235bd26dили 9a4540c5e070d085d799e52faf124375а если 9eefea6c25b2ad8deeb157bc5a2b298f(то есть при 3e69920ee8aa6d44b5d01641ea3d22b4), то в точке 6f7595444c7e866aa999d2b5c244f640

3. Следовательно, наименьшее значение функции 50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62больше c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849bтогда и только тогда, когда:

ecd7796648ef711fc5263d51b2b42fac

e6f45126a4bdea5fe4725f854dcd1634

Ответ: a437f3438675f4e4082e70b9c3ba8f5e

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.

а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна 5b97d8745fb709b9f7c528a8fc4b767bтогда другая сторона равна 5bc72d7adf86659a65cf5e34d81d13c2В этом случае площадь прямоугольника равна 3fe7e042f84a19ec9bd7f884aa37aa71Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции 3fe7e0378551ca72f28614e4d5771935будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при 52634a5ce8aca5756be2274cf2f12b91а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна 2fc85f33ed12073060018ec2fefcddedПоскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

ec1993e7c91f37a082375ee69be63fb4

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.

Возможны три случая:

1) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n >100.

а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6 3256351d63ab8a96ff00742d5f26120eтогда другая сторона равна 5bc72d7adf86659a65cf5e34d81d13c2В этом случае площадь прямоугольника равна 3fe7e042f84a19ec9bd7f884aa37aa71Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции 3fe7e0378551ca72f28614e4d5771935будет тем меньше, чем дальше находится число 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при 52634a5ce8aca5756be2274cf2f12b91а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна 2fc85f33ed12073060018ec2fefcddedПоскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

2a247aa2c8a8176281fac538effee6a6

Так как 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661и 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1― целые числа, то число 10 000 кратно числу a.

Заметим, что 5167a7c2d3a08bb44b8043d4c2926a0fтак как a4e2cf2329249fd2f2fe39f0646f15cbСледовательно, требуется найти все делители числа 10 000, меньшие 50. Так как c8cb55ceb7b9176054640ec6de6d99cfто искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 4.

Возможны три случая:

1) Число 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна 475, 900, 1600 или 2400 соответственно.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875, 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?

а) Площадь многоугольника M равна 7296a7e50c534fb56e712b3b1003fea3Например, это может быть прямоугольник 01f53a0af6abcf316287fa4f5fe96826

б) Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны e54b5d5081e2f77780a426db0677403dПусть n — число вершин многоугольника М. Тогда 2e8530374d56e97a2da1cc4e7ee8a32dоткуда 68494504bf3d8f2d7547280f40afaf00значит, многоугольник М — четырёхугольник,все углы которого равны afd1e61b7a2f892206296b032a77c427т. е. прямоугольник. Тем самым, многоугольник М имеет 4 стороны.

в) Заметим, что стороны этого прямоугольника — целые числа. Пусть 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661и 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f— длины сторон прямоугольника 0ae1285ce5610001567ddb53236e50feТогда cff6bfa294ebba3e7b24bb68406dcff6а периметр прямоугольника М равен 9eebfced3abf90c00016d10d9edc85b4Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел 0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661и 92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578fих сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, т. е. чем меньше величина 6df8111339f642c78a66eb088291713dДействительно, пусть 5fc74d782da42efb65d9b7ecf452ee46и 130e038372eb25c23cd72451d238d60eТогда 736037bead642aff31e9f4c1136a6319откуда 450fc6e1b227d9f96d0ffbd814df403418558ac0c028b1a58d84adcbea0325f7 bdc4b4414348ab8c0650e3591439e062и, следовательно, 43f2ee7fae3f647a4dda760d61b9785b

Можно считать, что a2e7dd6ec2a193c9957995214e62d358В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами f2f690ddb0e8a4113d1ed6cae0d67239Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого 8ca2ed590cf2ea2404f2e67641bcdf50принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение 8ca2ed590cf2ea2404f2e67641bcdf50достигается при b8601ca47e8c9641f1b81b8c41bd21aeПериметр такого прямоугольника равен 144.

Другое решение пункта в):

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника М. Тогда cff6bfa294ebba3e7b24bb68406dcff6а периметр прямоугольника М равен 4b8a4091b6f0b557a9f55ba1e8c299bbгде a и b ― натуральные числа. Исследуем функцию 0bc5b061a34827f9e4eeaa2b5d2bcca7на отрезке [1; 1292]. Её производная: 64094622efcc93585205c2900a5f7159Так как на рассматриваемом отрезке 06605d0b94674429f3ab62bec2350d50при dd056996ef43a334b49970a138e1c171 99300cb144197ff8dc44e17568431c8fпри f0077d2e1fb52338602ef20c470e576eи 8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1при 9a6c679edb7e39031cf6c199d1910d65своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее ― в точке b876e44e9d3b094c7daed854cfc14d4a

Поскольку b13794b05d4e0f1ff547f7ae859b5b60число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что acb057c0b6eac48eafecd1d90eaaa14dи ближайшие слева и справа к 5d767920b37b3c0d3c7b93180b5f39ddнатуральные числа, являющиеся делителями числа 1292, ― числа 34 и 38. Поскольку d00db5cbf9feb2749d8f4b01717a6e80наименьший периметр прямоугольника M равен 144.

Ответ: а) Прямоугольник a0be6dd49cb7463930c781de366f8199в) 2586; 144.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector