чему равно обратное отношение 6 к 8

Отношения

Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.

Частное двух чисел 94511и 94512, отличных от нуля, называют отношением чисел 94511и 94512, или отношением числа 94511к числу 94512.

Где 94511и 94512 члены отношения; число 94511предыдущий член отношения; 94512последующий член отношения.

94513— отношение числа 94514к числу 94515;

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел 94511и 94512показывает, во сколько раз число 94511больше числа 94512или какую часть число 94511составляет от числа 94512.

Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел 94511и 94512можно записать двумя способами: 94511: 94512и 94516.

Основное свойство отношения:

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:

94517

То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.

Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Пример:

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?

Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.

Например:

Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м. Найдем отношение длин сторон прямоугольника.

Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = 94518.

Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = 94519.

Дроби 94518и 94519взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.

На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.

Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана).

Пусть на карте задан масштаб 94522, то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.

Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.

Для решения обозначим через 94520длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : 94520, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

5 : 94520= 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

94520= 59452110 000;

94520= 50 000;

50 000 см = 500 м = 0,5 км.

Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.

Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.

Для решения обозначим через 94520длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 94520: 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:

94520: 9,5 = 1 : 10 000;

Решаем данное уравнение:

94520= 9,5 : 10 000;

94520= 0,00095;

0,00095 км = 0,95 м = 95 см.

Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Урок 21 Бесплатно Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Отношение

otnoshenie 1

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf\) или же через дробную черту: \(\mathbf<\frac>\)

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.

Ответом будет 32.

Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1

В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.

Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:

Пример 2

Найдите отношение 15 к 12

По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.

Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.

Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.

Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf<1\frac<1><4>>\) раза.

Пример 3

Найдем отношение 16 к 24.

Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.

В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.

Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.

А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf<\frac<2><3>>\) раза.

Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf<\frac<2><3>>\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.

Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.

Пример 4

Есть два числа, 14 и 28

Посчитаем отношение 14 к 28

И посчитаем отношение 28 к 14

Как вы видите, получились разные значения.

Как можно заметить, это взаимно обратные числа.

Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.

Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.

Пример 5

Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf<\frac<2><5>>\), найдем отношение b к a

Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf<\frac<2><5>>\)

Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)

В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.

Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.

Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.

Пример 6

Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)

Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf<\frac<1><3>>\)

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Отношение и часть от числа

Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.

Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.

Так мы получим число, которое будет частью исходного.

Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf<\frac<3><8>>\)

Перемножив, мы получим:

А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.

Для этого разделите одно на другое:

То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.

Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.

Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.

Пример 1

Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf<2\frac<1><2>>\)

Найдем, какая именно это дробь.

Решение:

Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.

Теперь разделим одно на другое и получим ответ.

Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf<2\frac<1><2>>\), равняется \(\mathbf<\frac<1><4>>\)

Пример 2

Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf<1\frac<1><5>>\), также известно, что первое число равно 6.

Найдем второе число.

Решение:

Мы знаем, что отношение обратно дроби.

Найдем обратное число к \(\mathbf<1\frac<1><5>>\)

Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:

Второе число равно 5

Проверка:

Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5

Получилось то же отношение, что и в условии.

Пример 3

Решим похожую задачу:

Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf<1\frac<1><2>>\)

Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.

Решение:

Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:

Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.

В нашем случае на дробь надо делить число b :

Ответ: число a равняется 12

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Отношения в задачах

Теперь научимся находить отношения в задачах.

Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.

Задача 1

Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.

а) Найдите, какая часть улицы освещена.

б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?

put pars

Решение:

В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.

Именно это и спрашивается в первом вопросе.

Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:

Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf<\frac<3><5>>\) от длины всей улицы.

Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:

Что отвечает на вопрос второго пункта.

Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.

То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.

Задача 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза- это одежда и ее масса 350 кг.

Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.

gruz pars

Решение:

Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.

Теперь найдем искомое отношение:

Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

shutterstock 1079848193

Сегодня вы узнаете о математических фокусах!

Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.

Фокус 1

Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.

Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.

Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.

Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.

Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х

Фокус 2

В нем вы можете угадать День рождения человека.

Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Взаимно обратные числа

5fea293bbff11928893851

Определение взаимно обратных чисел

С предыдущих уроков математики мы знаем: если прибавить или вычесть из числа нуль — оно не изменится. Точно также, если умножить или разделить число на единицу.

Ноль — нейтральный элемент для сложения и вычитания. При этом числа, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.

Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Поэтому симметричными называют числа, чье произведение дает единицу.

Два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Обратное число к данному числу — это такое число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.

5fea293d05154103009391

Если числа a и b взаимно обратные, то можно сказать, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Также можно говорить, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a.

Приведем примеры взаимно обратных чисел. Так как произведение двух единиц равно 1, то по определению числа 1 и 1 — взаимно обратные.

5fea293c70c72848390670

Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.

Как найти число, обратное данному числу

Иногда число, обратное данному числу, очевидно. Так бывает с натуральными числами и обыкновенными дробями. В других случаях приходится проводить вычисления. Например, с иррациональными и комплексными числами.

Рассмотрим каждый отдельный случай нахождения числа, обратного данному числу.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.

Чтобы это проверить, выполним умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — получим 1. Значит дроби a/b и b/a — взаимно обратные числа.

Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, то получится дробь b/a, обратная дроби a/b.

Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, обратное данной обыкновенной дроби без каких-либо вычислений.

Число, обратное натуральному числу

Нахождение числа, обратного данному натуральному числу, можно свести к нахождению числа, обратного дроби. Для этого нужно записать натуральное число как дробь со знаменателем 1.

Пусть нам дано натуральное число n, и нужно записать число, обратное числу n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, поменяв местами числитель и знаменатель этой дроби, получим дробь 1/n, которая и является числом, обратным натуральному числу n.

Итак, натуральному числу n обратным числом является число 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n. Значит n и 1/n — взаимно обратные числа.

Отдельно отметим число, обратное натуральному числу 1. Число, обратное единице, это единица. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Найти число, обратное смешанному числу

Напомним, что смешанное число выглядит так: A b/c. Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно представить данное смешанное число в виде неправильной дроби, а уже после найти число, обратное этой дроби. Как это работает рассмотрим на примере.

Пример

Найти число, обратное смешанному числу 5fea293c2f8e7324244122

Сначала выполним перевод смешанного числа в неправильную дробь:

5fea298085313485950245

Число, обратное дроби 65/9, есть дробь 9/65. Поэтому, смешанному числу 5fea293c2f8e7324244122обратно число 9/65.

Ответ: 5fea293c2f8e7324244122и 9/65 взаимно обратные числа.

Найти число, обратное десятичной дроби

Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Поэтому найти число, обратное конечной или периодической десятичной дроби, можно через поиск числа, которое обратно обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.

Пример 1

Найти число, которое обратно десятичной дроби 5,128.

Переведем конечную десятичную дробь в обыкновенную:

5fea29e92b888824745341

Числом, обратным полученной дроби, является обыкновенная дробь 125/641. Это и есть решение задачи.

Пример 2

Какое число является обратным для периодической десятичной дроби 2,(18)?

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:

5fea293ce65d3002844125

Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, числом, обратным исходной десятичной дроби 2,(18), является дробь 11/24.

Так как бесконечным непериодическим десятичным дробям отвечают иррациональные числа, то числа, которые обратны им, также записывают в виде дробных выражений.

Например, иррациональному числу 5fea29ea118fa139080703обратно число 5fea29803d3e9104726757, а иррациональному числу 5fea2980bff9b609245023обратно число 5fea29e987633960124374

Взаимно обратные числа с корнями

Важно запомнить, что вид взаимно обратных чисел может отличаться от a и 1/a. Поэтому нужно быть внимательным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Рассмотрим на примере, как это бывает.

Пример

Вычислим произведение этих чисел:

5fea2980a8ac7842710155

Так как в ответе мы получили единицу и мы знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, значит эти числа можно назвать взаимно обратными.

Ответ: да, число взаимно обратны.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, которое равно какой-то степени числа a. То есть, число a возведено в степень b. Обратным числу ab будет число a-b. Проверим.

5fea293c87dab294469278

Пример

Взаимно обратные числа с логарифмами

У логарифма числа a по основанию b обратное число равно логарифму числа b по основанию a. То есть log b a и log a b — взаимно обратные числа.

Действительно, из свойств логарифма следует, что 5fea293cd04c9203570644

, откуда log b a * log a b = 1.

Пример

Записать число, которое обратно логарифму числа 3 по основанию 5fea293c4c32b310840489

Число, обратное числу 5fea29ea42dfc040427729, выглядит так: 5fea29801b87b794320034

Ответ: 5fea29801b87b794320034

Найти число, обратное комплексному числу

Сейчас узнаем, как находить число, обратное комплексному числу z.

Пример 1

Найти число, обратное комплексному числу 4 + i.

4 + i = 5fea29ea2f96f476559538

Умножим числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + i.

5fea293ca8fd4718063570

Ответ: 5fea29e9c9b7b396815493

5fea29e999196020835913или 5fea29e9dfc65886894770

Действительно, и 5fea293d149a6756599473

Пример 2

Определить число, обратное комплексному числу 5fea297fae509511201175

В этом примере r = 2 и 5fea293c5b88b142267647, откуда 1/r = 1/2 и 5fea29ea01d02837604295

Следовательно, нужное нам обратное число равно 5fea2980d24bd789033281

Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только что это доказали.

Ответ: 5fea2980d24bd789033281

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — давайте ее сформулируем и узнаем ключевое свойство.

Теорема

Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

Доказательство теоремы:

Нам известно, что среднее арифметическое положительных чисел a и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, то есть,

5fea29ea566d7199841605

Если в качестве b мы возьмем число, обратное a, то полученное неравенство будет выглядеть так: 5fea298052872255441191откуда 5fea29e977a05627233838и 5fea29ea71c10596383172, что и требовалось доказать.

Пример

Вычислить сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector