Чему равно отношение площадей подобных многоугольников
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.
§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.
1. Отношение площадей квадратов.
Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т, а сторону другого — через п, то площади будут соответственно равны
т 2 и п 2 (черт. 379).
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.
На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников.
В этих треугольниках из вершин В и В’ проведём высоты и обозначим их через h и h‘. Площадь первого треугольника будет равна AC•h /2, а площадь второго треугольника A’C’•h’ /2.
Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго — через S’ получим: S /S’ = AC•h /A’C’•h’ или S /S’ = AC /A’C’ • h /h’
Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.
3. Отношение площадей подобных многоугольников.
Пусть ABCDE и A’B’C’D’E’ — подобные многоугольники (черт. 381).
Известно, что /\ AВС 
/\ A’В’С’; /\ ACD /\ A’C’D’ и /\ ADE /\ A’D’E’ (§90).
Кроме того,
; 
Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то 
Используя свойство ряда равных отношений получим:
, или 
где S и S’ — площади данных подобных многоугольников.
Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S /S’ = ( AВ /A’В’ ) 2
1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?
2. Сторона первого квадрата составляет 1 /3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?
3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 ( 1 /5; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?
4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?
Многоугольники
Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией, называется многоугольником.
Отрезки этой ломаной линии называются сторонами многоугольника. АВ, ВС, CD, DE, ЕА (рис. 1) — стороны многоугольника ABCDE. Сумма всех сторон многоугольника называется его периметром.
Многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от любой своей стороны, неограниченно продолженной за обе вершины.
Многоугольник MNPKO (рис. 1) не будет выпуклым, так как он расположен не по одну сторону прямой КР.
Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.
Углы, составленные двумя соседними сторонами многоугольника, называются его внутренними углами, а вершины их — вершинами многоугольника.
Отрезок прямой, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю многоугольника.
АС, AD — диагонали многоугольника (рис. 2).
Углы, смежные с внутренними углами многоугольника, называются внешними углами многоугольника (рис. 3).
В зависимости от числа углов (сторон) многоугольник называется треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д.
Два многоугольника называются равными, если их можно совместить наложением.
Вписанные и описанные многоугольники
Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в окружность, а окружность — описанной около многоугольника (рис).
Если все стороны многоугольника являются касательными к окружности, то многоугольник называется описанным около окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник (рис).
Подобие многоугольников
Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны.
Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое число сторон (углов).
Сходственными называются стороны подобных многоугольников, соединяющие вершины соответственно равных углов (рис).
Так, например, чтобы многоугольник ABCDE был подобен многоугольнику A’B’C’D’E’, необходимо, чтобы: ∠A = ∠A’ ∠B = ∠B’ ∠С = ∠С’ ∠D = ∠D’ ∠Е = ∠Е’ и, кроме того, AB /A’B’ = BC /B’C’ = CD /C’D’ = DE /D’E’ = EA /E’A’.
Отношение периметров подобных многоугольников
Сначала рассмотрим свойство ряда равных отношений. Пусть имеем, например, отношения: 2 /1 = 4 /2 = 6 /3 = 8 /4 =2.
Найдем сумму предыдущих членов этих отношений, затем — сумму их последующих членов и найдём отношение полученных сумм, получим:
То же самое мы получим, если возьмём ряд каких-нибудь других отношений, например: 2 /3 = 4 /6 = 6 /9 = 8 /12 = 10 /15= 2 /3 Найдем сумму предыдущих членов этих отношений и сумму последующих, а затем найдём отношение этих сумм, получим:
В том и другом случае сумма предыдущих членов ряда равных отношений относится к сумме последующих членов этого же ряда, как предыдущий член любого из этих отношений относится к своему последующему.
Мы вывели это свойство, рассмотрев ряд числовых примеров. Оно может быть выведено строго и в общем виде.
Теперь рассмотрим отношение периметров подобных многоугольников.
Пусть многоугольник ABCDE подобен многоугольнику A’B’C’D’E’ (рис).
Из подобия этих многоугольников следует, что
На основании выведенного нами свойства ряда равных отношений можем написать:
Следовательно, периметры подобных многоугольников относятся как их сходственные стороны.
Отношение площадей подобных многоугольников
Пусть ABCDE и A’B’C’D’E’ — подобные многоугольники (рис).
; 
Так как вторые отношения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то 
Используя свойство ряда равных отношений получим:
, или 
где S и S’ — площади данных подобных многоугольников.
Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S /S’ = ( AВ /A’В’ ) 2
Площадь произвольного многоугольника
Пусть требуется вычислить площадь произвольного четырёхугольника АВDС (рис).
Проведём в нём диагональ, например АD. Получим два треугольника АВD и АСD, площади которых вычислять умеем. Затем находим сумму площадей этих треугольников. Полученная сумма и будет выражать площадь данного четырёхугольника.
Если нужно вычислить площадь пятиугольника, то поступаем таким же образом: из одной какой-нибудь вершины проводим диагонали. Получим три треугольника, площади которых можем вычислить. Значит, можем найти и площадь данного пятиугольника. Так же поступаем при вычислении площади любого многоугольника.
Площадь проекции многоугольника
Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис.).
Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.
Пусть ΔАВС проектируется на плоскость р. Рассмотрим два случая:
а) одна из сторон ΔАВС параллельна плоскости р;
б) ни одна из сторон ΔАВС не параллельна р.
Рассмотрим первый случай: пусть [АВ] || р.
По свойству проекции имеем ΔАВС1 (cong) ΔА’В’С’, и поэтому
Проведем [CD1] ⊥ [AB] и отрезок D1C1. Тогда [D1C1] ⊥ [AB], a \( \overbrace
и, следовательно, SΔ A’B’C’ = SΔ ABC cos φ.
Перейдем к рассмотрению второго случая. Проведем плоскость р1 || р через ту вершину ΔАВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).
Спроектируем ΔАВС на плоскости р1 и р (рис.); пусть его проекциями будут соответственно ΔАВ1С1 и ΔА’В’С’.
SΔ A’B’C’ = SΔAB 1 C 1 = SΔADC 1 — SΔADB 1 = ( SΔADC — SΔADB) cos φ = SΔ ABC cos φ
Планиметрия. Страница 12
| Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 12 | ||||
 | ||||
 |  Рис.1 Площадь прямоугольника. | |||
 | ||||
 Рис.2 Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольникаПусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.: Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.
|  Рис.3 Площадь треугольника. 4.Площадь кругаКругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга. Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности. Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны: Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.
|  Рис.4 Площадь круга. 5.Площадь подобных фигурПусть даны две побные фигуры G и G’ (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.: Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.
|  Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. 6.Площадь трапецииПусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.: Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
|  Рис.6 Площадь трапеции. |
| ||||
см.
