чему равно ускорение материальной точки

Содержание

Тема 1.7. Ускорение точки и его виды

§1. Вектор ускорения точки

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v, а в момент t 1 приходит в положение M 1 и имеет скорость v 1 (рис. 1).

Рис.1. Движение точки М с ускорением

Отношение приращения вектора скорости к соответствующему промежутку времени ∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равномерному движению.

Найдем, как располагается вектор по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 2, а) векторы и сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 2, б) направления векторов и противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Источник

Ускорение материальной точки

Всего получено оценок: 161.

Большинство движений в Природе являются неравномерными, они происходят с ускорением или замедлением. Рассмотрим понятие «ускорение материальной точки» более подробно.

Неравномерное движение

При равномерном движении материальная точка проходит за одинаковые промежутки времени одинаковые расстояния, и измерение скорости на любом участке дает одно и то же значение.

При неравномерном движении ситуация иная. Измерение скорости в различные моменты времени дает различные результаты. Нередок случай, когда мгновенная скорость в любой точке пути отличается от мгновенной скорости в любой другой точке. Возникает вопрос определения не только координаты, но и скорости в каждый момент времени и в каждой точке пути для неравномерного движения.

Ускорение

Для исследования свободного падения можно измерять мгновенную скорость через равный промежуток времени (например, через 0.1с), и результаты представить в виде таблицы. В первом столбце будет момент времени, во втором – мгновенная скорость. В третьем столбце вычислим разницу мгновенной скорости между текущим и предыдущим моментом времени.

t(сек)

Δv(м/с)

Сразу бросается в глаза, что цифры в последнем столбце таблицы одинаковы. Это означает, что, хотя скорость постоянно меняется, разница скорости за одинаковый промежуток времени составляет одинаковую величину. Следовательно, для вычисления скорости в любой момент времени можно ввести специальную меру – ускорение.

Ускорение материальной точки равно отношению изменения скорости материальной точки к промежутку времени, за который это изменение произошло.

Рис. 2. Ускорение в физике.

Также из этой формулы видно, что ускорение – это векторная величина, и направление ускорения материальной точки совпадает с направлением изменения скорости. При этом и величину, и направление этого изменения необходимо получать с помощью правил сложения векторов. В частности, если конечная скорость больше начальной, и направлена в том же направлении, то и ускорение будет направлено туда же. Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение будет направлено в противоположную сторону. В случае, если вектора начальной и конечной скоростей не параллельны, для определения результата следует либо пользоваться правилом параллелограмма, либо проецировать вектора на оси координат, и складывать или вычитать проекции в зависимости от их направления, а потом по проекциям получать результат.

Рис. 3. Сложение векторов.

Что мы узнали?

При неравномерном движении скорость тела изменяется. Для характеристики быстроты этого изменения вводится специальная величина – ускорение. Ускорение равно отношению изменения скорости за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.

Источник

Ускорение материальной точки

Ускорение —это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Отношение изменения вектора скорости к промежутку времени Δt, за которое это изменение произошло, называется вектором среднего ускорения:

(4)

Мгновенное ускорение материальной точки равно первой производной от скорости по времени или второй производной от радиуса вектора по времени.

. (5)

Единица измерения ускорения [а]= .

Следует также отметить, что вектор ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Проекции вектора на оси декартовой системы координат:

Модуль вектора ускорения через проекции равен .

Пусть точка совершает криволинейное движение. Вектор ускорения в этом случае можно представить в виде суммы двух проекций: .

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории (рис. 6) и характеризует быстроту изменения скорости по модулю, его величина . (6)

Нормальное (центростремительное) ускорение направлено по нормали кцентру кривизны траектории (рис.6) и характеризует изменение скорости по направлению. Величина нормального ускорения связана со скоростью движения и радиусом кривизны траектории R: . (7)

Величина полного ускорения:

. (8)

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1. , — прямолинейное равномерное движение;

2. , — прямолинейное равноускоренное движение.

Если , то (9);

(10); (11);

Если начальная скорость υ₀=0, то формулу пути можно записать в виде А для промежутков времени t₁ и t₂ ; . Тогда или .

3. , — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4. , — равномерное движение по окружности;

5. , — равноускоренное движение по окружности;

6. , — движение по окружности с переменным ускорением;

7. , — равномерное криволинейное движение;

8. , — криволинейное равнопеременное движение

9. , — криволинейное движение с переменным ускорением.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. Измерение средней и мгновенной скоростей неравномерного движения

Опыт 1

1. Установка для выполнения опыта схематически изображена на рисунке 6.

Для определения средней и мгновенной скорости шарика при его движении по наклонной части желоба, приподнимите конец основания, на котором смонтировано пусковое устройство, на высоту 3 – 5 см и установите шарик в пусковое устройство.

2. Установите датчики на наклонной части желоба: первый датчик разместите на нулевой отметке шкалы, а второй датчик на расстоянии 20 см от первого (см. рис.6).

3. Освободите шарик и измерьте не менее трех раз промежутки времени, в течение которых шарик двигался между оптическими датчиками.

4. Повторите измерения, каждый раз уменьшая расстояние между датчиками на 4 см (по 2 см с каждой стороны), так, чтобы середина отрезка между датчиками располагалась в точке желоба, при прохождении которой требуется найти мгновенную скорость (на расстоянии 10 см от нулевой отметки шкалы). При последнем измерении датчики должны находиться на минимальном расстоянии друг от друга.

7. Рассчитайте значения средней скорости шарика по формуле 1 при различных расстояниях между датчиками. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

Таблица 1 – Определение средней скорости

№ п/п

x₁

x₂

Δr

Δt

υ_ср

8. Подсоедините оптический датчик к гнезду 1 секундомера, включите секундомер и установите прибор в режим (ONE).

9. Установите датчик на наклонной части желоба на расстоянии 10 см от нулевой отметки шкалы.

10. Освободите шарик, установленный в пусковом устройстве, и измерьте промежуток времени, в течение которого шарик перекрывал световой пучок, излучаемый светодиодом, двигаясь в створе оптического датчика (диаметр шарика d =22 мм).

11. Рассчитайте модуль скорости шарика (для расчета достаточно разделить диаметр шарика на измеренный промежуток времени) и сравните полученный результат с последним результатом измерений мгновенной скорости двумя датчиками.

Опыт 2.

1. Установка для выполнения опыта схематически изображена на рисунке 7.

2. Для определения средней и мгновенной скорости шарика при его движении на горизонтальном участке желоба, установите датчики на расстоянии 10 см друг от друга на горизонтальной части желоба так, чтобы середина отрезка между датчиками располагалась около точки желоба, при прохождении которой требуется найти мгновенную скорость.

3. Установите шарик в пусковое устройство.

5. Освободите шарик и не менее трех раз измерьте промежутки времени, в течение которых шарик двигался между оптическими датчиками.

6. Повторите измерения, каждый раз уменьшая расстояние между датчиками на 4 см (по 2 см с каждой стороны). При последнем измерении разместите датчики на минимальном расстоянии друг от друга.

7. Вычислите значения средней скорости шарика по формуле 1для различных расстояний между датчиками, с точностью до 0.01.

8. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 2.

Таблица 2 – Вычисление значения средней скорости шарика для различных расстояний между датчиками

№ п/п

x₁

x₂

Δr

Δt

υ_ср

9. Измерьте модуль скорости шарика на горизонтальном участке желоба, используя один датчик, и сравните полученные результаты с результатами измерений скорости двумя датчиками.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Источник

Ускорение

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Источник

Кинематика материальной точки

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус кривизны траектории:
.

Далее приводится вывод этих формул и изложение теории кинематики материальной точки.

Радиус-вектор и траектория точки

Траектория материальной точки – это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Скорость материальной точки

Согласно определению скорости и определению производной:

Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:

,
где
,
,

– проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.

Таким образом
.
Модуль скорости:
.

Касательная к траектории

Введем направляющий вектор касательной единичной длины:
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
, то:
.

Абсолютную величину (модуль) вектора скорости мы обозначаем символом с прямыми скобками, или символом без стрелки:
;
Алгебраическая величина скорости:
.

Тогда вектор скорости точки можно представить в следующем виде:
.

Ускорение материальной точки

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают их скалярное произведение. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Тангенциальное (касательное) ускорение

Радиус кривизны траектории

Нормальное ускорение

Выпишем еще раз следующую формулу:
.
Отсюда видно, что нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.

Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

Источник