Равномерное движение тела по окружности
1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.
При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.
2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности \( T \) — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — \( [\,T\,] \) = 1 с.
Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: \( n=1/T \) .
Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время \( t \) переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол \( \varphi \) .
Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.
Угловая скорость \( \omega \) — физическая величина, равная отношению угла поворота \( \varphi \) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: \( \omega=\varphi/t \) . Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. \( [\,\omega\,] \) = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен \( 2\pi \) . Поэтому \( \omega=2\pi/T \) .
Линейная скорость тела \( v \) — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.
Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: \( \vec
Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.
4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: \( \vec=\frac<\Delta\vec
Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: \( a=\frac
При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
1. При равномерном движении тела по окружности
1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости
2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии \( R_1 \) от центра вращающегося колеса, равна \( v_1 \) . Чему равна скорость \( v_2 \) точки 2, находящейся от центра на расстоянии \( R_2=4R_1 \) ?
1) \( v_2=v_1 \)
2) \( v_2=2v_1 \)
3) \( v_2=0,25v_1 \)
4) \( v_2=4v_1 \)
3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:
1) \( T=2\pi\!Rv \)
2) \( T=2\pi\!R/v \)
3) \( T=2\pi v \)
4) \( T=2\pi/v \)
4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:
1) \( \omega=a^2R \)
2) \( \omega=vR^2 \)
3) \( \omega=vR \)
4) \( \omega=v/R \)
5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?
1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась
6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?
1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза
7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?
1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза
8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?
9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?
1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц
10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?
1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с
11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения
ФОРМУЛА
1) \( 1/T \)
2) \( v^2/R \)
3) \( v/R \)
4) \( \omega R \)
5) \( 1/n \)
12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.
ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение
ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась
Часть 2
13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?
Физика. 10 класс
Конспект урока
Урок 04.Равномерное движение точки по окружности
Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:
Криволинейное движение – это движение по дугам окружностей разных радиусов.
Ускорение – это векторная величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло, при ∆t → 0
Криволинейное движение; движение по окружности; скорость; радиус кривизны; изменение скорости; центростремительное ускорение.
Основная и дополнительная литература по теме урока:
Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2016. С.55-56
Марон Е.А., Марон А.Е. Сборник качественных задач по физике. М., Просвещение, 2006
Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 10-11 класс.-М.:Дрофа,2009.-С.20-22
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Мы уже знакомы с равноускоренным движением. Как же меняются скорость и ускорение при криволинейном движении? Сегодня рассмотрим равномерное движение по окружности, узнаем, что такое центростремительное ускорение.
Если траектория движения тела прямая линия, то движение прямолинейное; если траектория кривая линия – криволинейное движение. Напомним, что траектория – это линия, вдоль которой двигалось тело.
При изучении равноускоренного движения мы заметили, что в некоторых случаях тело движется по прямой, например свободное падение тел, а в некоторых по кривой – тело, брошенное под углом к горизонту.
Рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. Траекторией является парабола.
Возьмем разные точки на линии и нарисуем векторы скорости 
. Вектор скорости направлен по касательной, а ускорение свободного падения направлен вниз.
Векторы 
и 
не лежат на одной прямой, угол между ними не равен нулю.
Это естественно, так как, если ускорение образует угол со скоростью, то изменение скорости направлено не так, как скорость. Это приводит к изменению направления скорости. Изменение скорости 
направлено как ускорение. Скорость через некоторый промежуток времени образует некоторый угол с 
Итак, сформулируем первый вывод: если угол между векторами скорости и ускорения не равен нулю, то движение будет криволинейным.
2.Может ли быть движение одновременно равномерным и криволинейным? Да, например, движение по окружности.
Сформулируем второй важный вывод: любое криволинейное движение является движением с ускорением, потому что меняется направление вектора скорости.
Решим задачу: найдем ускорение тела, равномерно движущегося по окружности.
Рассмотрим равномерное движение тела по окружности с центром в точке О. В какой-то момент времени, скорость тела в точке А была
.
Модули скоростей равны:
но вектора скоростей 
не равны.
Поэтому построим вектор 
для тела, движущегося по окружности. Перенесем вектор 
в начало вектора
и найдем разность векторов.
направлен в сторону
.
Что можно сказать об угле между векторами 
? Он равен малому углу, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.
Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 
, 
. Углы у основания равны.
Если угол φ стремится к нулю, то углы у основания совпадут и станут равными 90 0
Вектор 
будет перпендикулярен вектору 
в пределе, а значит вектор ускорения 
тоже перпендикулярен 
т.е направлен по радиусу к центру окружности. Поэтому часто его называют центростремительным ускорением
Теперь следующая задача: как найти модуль вектора ускорения. Давайте рассмотрим два треугольника: треугольник, образованный векторами 
и треугольник, образованный радиусами и хордой. У этих треугольников углы при вершинах равны, они равнобедренные. Треугольники подобны и, следовательно, выполняются соотношения подобия.
Промежуток времени мал, поэтому очень мал и угол при вершине, в пределе он стремится к нулю. Тогда можно сказать, что длина хорды s равна длине дуги АВ при
Длина дуги АВ это путь, пройденный точкой от А до В,
Умножим на
и получим:
В левой части мы получили отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому промежутку времени т.е. ускорение:
Равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением и переменной скоростью. Модули скорости и ускорения остаются постоянными
А если меняется радиус, то меняется и центростремительное ускорение. Чем меньше радиус, тем больше ускорение при одинаковой скорости.
Всегда при равномерном криволинейном движении вектор ускорения перпендикулярен вектору скорости, поэтому центростремительное ускорение иногда называют нормальным ускорением, от слова нормаль, т.е. перпендикуляр.
— движение криволинейное, так как траекторией является окружность;
— движение равномерное, так как модуль скорости не меняется;
— вектор скорости направлен по касательной к окружности;
-вектор ускорения направлен к центру окружности;
— модуль центростремительного ускорения равен: 
Примеры и разбор решения заданий
1. Велосипедист движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 36 км/ч. С каким ускорением он проходит закругление?
При движении по окружности линейная скорость и центростремительное ускорение связаны соотношением 
где R = 50 м; υ= 
км/ч = 10 м/с.
2. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R1 = 10 см и R2 = 30 см с одинаковыми скоростями 0,20 м/с. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения?
Задано два объекта:
1) материальная точка, которая движется по окружности R1;
2) материальная точка, которая движется по окружности R2.
При движении по окружности центростремительное ускорение и линейная скорость связаны соотношением
Для тела 1 уравнение (1) примет вид:
Центростремительное ускорение тела (2) меньше 
ускорения тела (1) в 3 раза.
I. Механика
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Разница векторов есть 
. Так как 
, получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью 
, которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле 
