чему равно векторное произведение векторов

Содержание

Вектор. Векторное произведение векторов.

Векторное произведение — это псевдовектор, который перпендикулярен плоскости, построенной по двум

сомножителям, которые являются результатом бинарной операции «векторное умножение» над

векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.

Векторное произведение не имеет свойств коммутативности и ассоциативности (антикоммутативное)

Векторное произведение помогает в «измерении» перпендикулярности векторов — модуль

векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, если они

перпендикулярны, и стремится к нулю, если векторы параллельны или антипараллельны.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в

трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит

от ориентации прямоугольной системы координат или, говоря другими словами, её «хиральности».

Векторное произведение двух векторов обозначается квадратными скобками:

31 2955ca912aba0f03916cf19c9f2ebf11

Свойства векторного произведения векторов.

1. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Векторным произведением вектора 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd на вектор 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 является

вектор 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d, длина его численно соответствует площади

параллелограмма, который построен на векторах 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd и 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2,

перпендикулярный к плоскости этих векторов и направлен

так, чтоб самое маленькое вращение от 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd к 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 около

вектора 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d происходило против часовой стрелки, если взгляд вести

с конца вектора 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d.

222 25aeff6e015162aeb316983d8bd61558

Модуль векторного произведения двух векторов 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd и 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 = площади параллелограмма, который

978 136362c2dff3844304dd1e96bd36ee03

Площадь треугольника строящегося на векторах 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd и 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 соответствует одной второй модуля

векторного произведения векторов 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd и 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 :

311 ba5d18e65df7d1fef4d9be2fdb185c23

2. Вектор 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d перпендикулярен векторам 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd и 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2, то есть 321 950df46509b1b3108315507ef9cd60e3и 52 650c8db6b6c7f4faf81e38a80cb729a4;

3. Вектор 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d направлен таким образом, что поворот от вектора 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd к вектору 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 происходит против часовой стрелки, если смотришь с конца вектора 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d (в таком случае тройка векторов 705 87e7813553425f89fbda364759a671bd, 9 12390d7a8675ab0a7b328d97048dd0e2 и 346 18155a64bb7bd44008fb91d5d074bd2d – правая).

Источник

Векторное произведение векторов

5feb324034363840757641

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

5feb32e427d18546451319

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

5feb330449a0c903268909

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

5feb33105a48c562941651

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

5feb3365dd2f2459118154

Векторное произведение двух векторов a = и b = в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

5feb339b8c23f451140179

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

5feb33c04a1c8935054420

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

5feb33d86f2f5631882374

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

5feb33e7e4dc9473539790

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

5feb3416c2731708856487

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

5feb347786ec4565662515

, где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

5feb3488ed402061238217

5feb34e6ddb81993479917

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

5feb351958a89570464235

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

5feb3531dbbb4668177844

5feb354233c14634776920

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

5feb355bcf6c3228783633

5feb356e0cf8f081185292

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

5feb35a271ff3108434646

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

5feb35b48207e323235023

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Сначала найдём векторы:

5feb35cd30c1b100425492

Затем векторное произведение:

5feb35dcee87a054794715

Вычислим его длину:

5feb35ed532ac986702068

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

5feb35ff2af37202942019

5feb360a6637e422038131

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

5feb3622a5c3c224863129

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

5feb36339b036105315863

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

5feb36471a90d061139738

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

Источник

Определение векторного произведения

111

222

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Свойства векторного произведения

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = ( a x ; a y ; a z ) и b → = ( b x ; b y ; b z ) .

Рассмотрим следующие примеры.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Геометрический смысл векторного произведения

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

333

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Источник

Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно). Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

Векторное произведение векторов

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора. Пусть это будут нетленные буквы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002.

Само действие обозначается следующим образом: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image004. Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос: если в скалярном произведении векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image006участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image008

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image010, то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012.

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение: Векторным произведением vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image004 0000неколлинеарных векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0000, взятых в данном порядке, называется ВЕКТОР vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0000, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0001ортогонален векторам vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0001, и направлен так, что базис vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image017имеет правую ориентацию:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image019

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0002, обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны. Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0003взяты в строго определённом порядке: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image021«а» умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image023, который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image025(малиновый цвет). То есть, справедливо равенство vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image027.

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image023 0000(а, значит, и малинового вектора vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image025 0000) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0004. На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image031

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0002. Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image034

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0005(красная штриховка), можно найти по формуле:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image036

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0003ортогонален векторам vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image039, то есть vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image041. Разумеется, противоположно направленный вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image043(малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image039 0000.

5) Вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0004направлен так, что базис vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image017 0000имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости, и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки. Мысленно совместите указательный палец с вектором vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image046и средний палец с вектором vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image048. Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0005будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он).

Теперь совместите указательный палец левой руки с тем же вектором vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image046, а средний – с вектором vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image048. При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image043. Это левый или левоориентированный базис vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image805.

Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение 😉 Или просто попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются.

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0007коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image052– синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image054, то vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image601и vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image602. Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image058

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица, чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

а) Найти длину векторного произведения векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0008, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image060

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0009, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image062

Решение: Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image064

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image066

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0010. Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image068

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image070

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры, соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image072и vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image074– это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Найти площадь треугольника, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0011, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image076

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078и произвольного числа vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image080справедливы следующие свойства:

1) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image058 0000В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image027 0000– свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image082– сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image084– распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Найти vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image086, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image088

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image090

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image092

Пора подбросить дров в огонь:

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image094, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image096

Решение: Площадь треугольника найдём по формуле vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image098. Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image100через векторное произведение vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image102, по сути, выразим вектор через вектор. О длинах пока ни слова!

vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image104

(1) Подставляем выражения векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image106.

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image058 0001. Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image108

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image110

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image112

3) Найдём площадь искомого треугольника:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image114

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image116

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Найти vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image118, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image120

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров 😉

Векторное произведение векторов в координатах

С векторами, заданными в координатах, всё тоже просто и прозрачно. Сразу обращаю внимание на то, что разговор пойдёт о координатах ортонормированного базиса. В общем случае аффинного базиса нижеприведённая формула будет нерабочей. Кстати, кто ещё не успел ознакомиться с базисами, рекомендую статью Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Векторное произведение векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image122, заданных в ортонормированном базисе vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image124, выражается формулой:

vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image126

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image128, причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image130

Согласно свойствам определителя, если в определителе две строки переставить местами, то он сменит знак. Этот факт полностью соответствует свойству антикоммутативности векторного произведения.

Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, что продемонстрировано выше. Если есть трудности с определителями и формула не очень понятна, пожалуйста, посетите урок Как вычислить определитель, всё станет на свои места.

Что получается в результате раскрытия определителя?

В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор.

Найти векторное произведение векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image132и его длину.

Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), и во-вторых, его длину.

1) Найдём векторное произведение:

vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image134

В результате получен вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image136, или, ещё можно записать vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image138.

Существует очень хороший способ проверки: как следует из определения, вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0006должен быть ортогонален векторам vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0012. Ортогональность векторов, как мы разбирались, проверяется с помощью скалярного произведения:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image141

Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя.

2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image143

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image145

В плане технических обозначений здесь, наоборот, вместо громоздкой конструкции vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image147выгодно использовать букву vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image012 0007, поскольку она сокращает запись

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Даны векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image149. Найти vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image151и вычислить vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image153.

Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны!

Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи:

Даны вершины треугольника vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image155. Найти его площадь.

Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image157

Затем векторное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image159

Вычислим его длину:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image161

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image163

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image165

Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами – было не обязательно выбирать стороны vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image167. Решение также допустимо провести через векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image169либо vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image171. Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное.

Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image173, то получим противоположно направленный вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image175, но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Примерах № 6, 7, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image177, если vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image179

Это пример для самостоятельного решения.

В заключение первого раздела рассмотрим обещанную задачу урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов:

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image181
б) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image183

Решение: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image002 0013коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image056 0000.

а) Найдём векторное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image185

Таким образом, векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image187не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image189

Значит, vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image191

Ответ: а) не коллинеарны, б) vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image191 0000

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Смешанное произведение векторов

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image194

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение: Смешанным произведением vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image194 0000некомпланарных векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0000, взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image197правый, и знаком «–», если базис vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image197левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image199

Погружаемся в определение:

1) Исходные векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0001, обозначенные красными стрелками, не компланарны.
С компланарными векторами разберёмся ниже (что такое компланарность векторов, подробно разъяснено в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов).

2) Векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0002взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image201, как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image203. В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image205, а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0003(фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image207равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image209может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: smeshannoe proizvedenie clip image002.

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0001:

vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image213

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image215

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Смешанное произведение компланарных векторов

Если векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0005компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image217.

Немного отвлекусь от темы, возможно, не все знают ответы на следующие вопросы:
– Чему равны длина и ширина точки?
– Чему равна площадь прямой?
– Чему равен объём плоскости?

С позиции геометрии ответ таков: нулю

Смешанное произведение векторов в координатах

Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический:

Смешанное произведение векторов vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image219, заданных в ортонормированном базисе vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image124 0000правой ориентации, выражается формулой:
smeshannoe proizvedenie clip image003

Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса – это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

В различных источниках на ваши головы выльют тонны различных свойств смешанного произведения. С практической точки зрения считаю важным отметить лишь некоторые вещи:

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image229выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. А по свойству определителя, при перестановке двух строк он меняет знак. Таким образом, при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке:
smeshannoe proizvedenie clip image004

Значение определителя от этого не изменится (см. статью Свойства определителя и понижение его порядка). Дело вкуса.

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image233компланарны, то smeshannoe proizvedenie clip image005

Такое задание уже было! В конце урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов мы разбирали задачу «доказать, что три вектора образуют базис пространства», где рассчитывали определитель третьего порядка и получали некоторое число. Так вот: по сути – мы находили смешанное произведение трёх векторов. И с геометрической точки зрения полученное число по модулю равнялось объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах! Ну, а если получался ноль, то делали вывод, что векторы компланарны и базиса не образуют.

Закидываем остатки Буратино в огонь:

Даны векторы vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image237.

Вычислить:
а) смешанное произведение векторов;
б) объём параллелепипеда, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0006;
в) объём тетраэдра, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0007.

Решение: Всё быстро и просто:

а) По формуле смешанного произведения:
smeshannoe proizvedenie clip image006
(Определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image078 0006, равен модулю смешанного произведения данных векторов:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image250

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image252

Ответ: smeshannoe proizvedenie clip image007

В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень.

На практике, по моей субъективной оценке, в 95-99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды:

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image256

Решение: Чайникам рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий.

Сначала найдём векторы:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image258

Вычислим смешанное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image260
(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image262:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image264

Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image266

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника.

Объём тетраэдра – хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же:

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image268

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image270.

Остались только веселящие душу угольки, и в заключение хочу добавить, что в общем виде смешанное произведение векторов определено в аффинной системе координат. Более подробную информацию и формулы можно почерпнуть у тандема Атанасяна-Базылева.

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Пример 2: Решение: По соответствующей формуле:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image272
Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image274

Пример 5: Решение:
1) Выразим вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image100 0000через вектор vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image102 0000:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image276
2) Вычислим длину векторного произведения:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image278
Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image280

Пример 7: Решение: 1) Найдём векторное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image282
2) Вычислим длину векторного произведения:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image284
Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image286

Пример 9: Решение: Найдём вектор:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image288.
Векторное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image290
Площадь параллелограмма:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image292
Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image294

Пример 13: Решение: Найдём векторы:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image296
Вычислим смешанное произведение:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image298
(Определитель раскрыт по первой строке)
Вычислим объём пирамиды vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image300:
vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image302
Ответ: vektornoe proizvedenie vektorov smeshannoe proizvedenie clip image304

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector