чему равно значение функции выигрыша в седловой точке

Седловая точка в матричных играх

Матричные игры

Матричная игра является антагонистической игрой. Первый игрок получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения второго игрока) выигрыш, равный цене игры, аналогично, второй игрок добивается минимального гарантированного проигрыша.

Под стратегией понимается совокупность правил (принципов), определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации.

2 Платёжная матрица, чистые стратегии, цена игры

В матричной игре её правила определяет платёжная матрица.

В платёжной матрице элементами являются числа, выражающие выигрыши и проигрыши игроков. Выигрыши и проигрыши могут выражаться в пунктах, количестве денег или в других единицах.

Составим платёжную матрицу:

image001.

Так как aij + (- aij) = 0, то описанная игра является матричной игрой с нулевой суммой.

Простейшим примером матричной игры может служить бросание монеты. Правила игры следующие. Первый и второй игроки бросают монету и в результате выпадает «орёл» или «решка». Если одновременно выпали «орёл» и «орёл» или «решка» или «решка», то первый игрок выиграет одну единицу, а в других случаях он же проиграет одну единицу (второй игрок выиграет одну единицу). Такие же две стратегии и в распоряжении второго игрока. Соответствующая платёжная матрица будет следующей:

image002.

3 Как происходит выбор стратегии в матричной игре?

Вновь посмотрим на платёжную матрицу:

image001.

Сначала определим величину выигрыша первого игрока, если он использует i-ю чистую стратегию. Если первый игрок использует i-ю чистую стратегию, то логично предположить, что второй игрок будет использовать такую чистую стратегию, благодаря которой выигрыш первого игрока был бы минимальным. В свою очередь первый игрок будет использовать такую чистую стратегию, которая бы обеспечила ему максимальный выигрыш. Исходя из этих условий выигрыш первого игрока, который обозначим как v1, называется максиминным выигрышем или нижней ценой игры.

Теперь определим величину проигрыша второго игрока, если он использует j-ю стратегию. В этом случае первый игрок использует такую свою чистую стратегию, при которой проигрыш второго игрока был бы максимальным. Второй игрок должен выбрать такую чистую стратегию, при которой его проигрыш был бы минимальным. Проигрыш второго игрока, который обозначим как v2, называется минимаксным проигрышем или верхней ценой игры.

Пример 1. Дана матричная игра с платёжной матрицей

image003.

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

image004

Теперь, когда мы научились находить нижнюю и верхнюю цену игры, максиминную и минимаксную стратегии, пришло время научиться обозначать эти понятия формально.

Итак, гарантированный выигрыш первого игрока: image005.

Первый игрок должен выбрать чистую стратегию, которая обеспечивала бы ему максимальный из минимальных выигрышей. Этот выигрыш (максимин) обозначается так: image006.

Первый игрок использует такую свою чистую стратегию, чтобы проигрыш второго игрока был максимальным. Этот проигрыш обозначается так: image007.

Второй игрок должен выбрать свою чистую стратегию так, чтобы его проигрыш был минимальным. Этот проигрыш (минимакс) обозначается так:

image008.

Пример 2. Дана матричная игра с платёжной матрицей

image009.

Определить максиминную стратегию первого игрока, минимаксную стратегию второго игрока, нижнюю и верхнюю цену игры.

image010

Седловая точка в матричных играх

Если верхняя и нижняя цена игры одинаковая, то считается, что матричная игра имеет седловую точку. Верно и обратное утверждение: если матричная игра имеет седловую точку, то верхняя и нижняя цены матричной игры одинаковы. Соответствующий элемент одновременно является наименьшим в строке и наибольшим в столбце и равен цене игры.

Таким образом, если image011, то image012— оптимальная чистая стратегия первого игрока, а image013— оптимальная чистая стратегия второго игрока. То есть равные между собой нижняя и верхняя цены игры достигаются на одной и той же паре стратегий.

В этом случае матричная игра имеет решение в чистых стратегиях.

Пример 3. Дана матричная игра с платёжной матрицей

image014.

Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли данная матричная игра седловую точку?

image015

Дата добавления: 2019-04-03 ; просмотров: 4675 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

06. Принцип максимина в антагонистических играх. Седловая точка

Как отмечалось, важнейшим вопросом в теории игр (в том числе и матричных) является вопрос о выборе оптимальных стратегий для каждого из игроков.

Оптимальной стратегией игрока в матричной игре называется такая, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно, то оптимальная стратегия должна обеспечивать максимальный средний выигрыш.

При выборе этой стратегии основой рассуждений является предположение, что Противник является, по меньшей мере, так же разумен, как и мы сами, и делает все, чтобы добиться такой же цели.

При этом для выбора оптимальной стратегии используют Принцип максимина: Выбирай ту стратегию, чтобы при наихудшем для нас поведении противника получить максимальный выигрыш. Другими словами, принцип максимина предполагает выбор той стратегии, при которой наш минимальный выигрыш для различных стратегий максимален. Отсюда и название «принцип максимина».

Для пояснения принципа максимина рассмотрим пример 1 матричной игры G (4х5) с платежной матрицей, приведенной на рис. 2.2.

image012

Какой стратегией игроку А воспользоваться? Есть соблазнительный выигрыш 12, при применении стратегии А3. Но при этом противник может выбрать стратегию В3, и игрок А получит выигрыш, равный всего трем.

Для определения оптимальной стратегии в соответствии с принципом максимина, запишем в правом добавочном столбце платежной матрицы минимальное значение AI в каждой строке (минимум строки). Из всех значений AI (правый столбец) выделим наибольшее. Ему соответствует стратегия А4. Выбрав эту стратегию, мы во всяком случае можем быть уверены, что при любом поведении противника выигрыш будет не менее пяти.

Теперь станем на точку зрения игрока В и порассуждаем за него. Выбирая стратегию, он хотел бы отдать поменьше, но должен рассчитывать на наихудшее для него поведение игрока А.

Припишем к платежной матрице (рис.2.2) нижнюю строку и в ней запишем наихудшее для игрока В возможные результаты (максимумы столбцов BJ.

До тех пор, пока обе стороны в нашем примере будут придерживаться своих максиминных стратегий, выигрыш игрока А и проигрыш игрока В будет равен А43=5.

Легко показать, что нижняя цена игры никогда не превосходит верхней цены игры.

Лемма 1. Пусть задана матрица выигрышей

А = êêaijêêи определены b= image015и a= image016.

Тогда image017.

Доказательство. По определению максимума и минимума для любых фиксированных значений I и J имеем

image018(2.1)

Поскольку левая часть неравенства (2.1) не зависит от I, то можем записать

image019(2.2)

Так как правая часть неравенства (2.1) не зависит от J, то

image020(2.3)

Объединяя неравенства (2.2) и (2.3), получаем неравенство (2.1), что и требовалось доказать. Итак, всегда B³A.

Случай B=A, соответствует наличию у платежной матрицы так называемой Седловой точки.

Определение. Точка (I*, J*) называется седловой точкой платежной матрицы ||AIj||, если для всех остальных i и j этой матрицы выполняется условие

Т. е. Аij является одновременно минимумом своей строки и максимумом своего столбца.

Приведем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1. Для того чтобы

image021

image022(2.4)

Говорят, что матричная игра имеет седловую точку, если соответствующая ей матрица выигрышей (платежная матрица) имеет седловую точку.

Пример 2. Найти решение игры G (3х3), платежная матрица которой имеет следующий вид:

Источник

Классификация игр. Определение седловой точки.

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.

По характеру взаимодействия игры делятся на:

1) бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

2) коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции наперёд определены.

По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.

Определение. Если в игре с матрицей А image055= image057(нижняя чистая цена равна верхней чистой цене), то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры u = image055= image057.

Седловая точка – это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство image055= image057.Если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе: image059, где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, седловой элемент image061является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент image063, называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиямисоответственно игроков 1 и 2.

Свойства седловых точек:

1. Равноценность. Если в игре несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2. Взаимозаменяемость оптимальных стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится, а выигрыш (проигрыш) останется неизменным.

13.Определение смешанной стратегии. Решение игры 2*2 в смешанных стратегиях.

Смешанная стратегия это когда вместо того, чтобы применить какую-то одну конкретную стратегию, участники игры могут чередовать (смешивать) в случайном порядке свои стратегии в соответствии со специально разработанной схемой, обеспечивающей нужную частоту, или вероятность реализации каждой из стратегий.

Для каждого игрока можно задать следующие компоненты:

Pia – вероятность применения i-ой стратегии со стороны А. image065

< SA > – множество смешанных стратегий со стороны А, из которых нужно выбрать оптимальную.

Игра 2*2 в смешанных стратегиях.

image066 image067Если хотя бы у одной стороны только 2 действия, применим графо-аналитический метод решения. Зададим игру в виде следующей матрицы:

а11 а12
а21 а22

Для этой игры можно считать следующее: игрок каждый раз играет против какой-либо чистой стратегии другой стороны. При этом он может выбрать такое соотношение вероятностей, которое даст ему гарантированный выигрыш, размером с цену игры.

640 1

a12 p * 1a + a22 p * 2a = γ – против второй чистой стратегии стороны В.

a21 p * 1b + a22 p * 2b = γ – против второй чистой стратегии стороны В.

Решение системы уравнений:

image071

Для того, чтобы полученные решения имели смысл необходимо требовать следующие соотношения:

image072 image072 image074или image076

Если выполняется либо одно, либо другое, то вероятности от 0 до 1.

image077 image078Для стороны А: Для стороны В:

Источник

Ситуация равновесия. Теоремы о седловой точке

Определение. В матричной игре с матрицей image072размерности image094исход image108является ситуацией равновесия или седловой точкой, если

(2.6) image110

В седловой точке элемент матрицы image108является одновременно минимумом в своей строке и максимумом в своем столбце. В игре из примера 2 элемент a33 является седловой точкой. Оптимальными в этой игре являются третьи стратегии для обоих игроков. Если первый игрок отклоняется от третьей стратегии, то он начинает выигрывать меньше, чем a33. Если второй игрок отклоняется от третьей стратегии, то он начинает проигрывать больше, чем a33. Таким образом, для обоих игроков нет ничего лучшего, чем последовательно придерживаться третьей стратегии.

Принцип оптимального поведения: если в матричной игре имеется седловая точка, то оптимальным является выбор стратегии, соответствующей седловой точке. Что будет, если в игре окажется более одной седловой точки?

Теорема. Пусть image112две произвольные седловые точки в матричной игре. Тогда:

(2.7) image114

Доказательство. Из определения ситуации равновесия имеем:

(2.8) image116

(2.9) image118

image128

Откуда следует равенство:

image130

Из теоремы следует, что функция выигрыша принимает одно и то же значение во всех ситуациях равновесия. Именно поэтому число image132называется ценой игры. А стратегии image134, соответствующие любой из седловых точек, называются оптимальными стратегиями игроков 1 и 2, соответственно. В силу (2.7) все оптимальные стратегии игрока взаимозаменяемы.

Оптимальность поведения игроков не изменится, если в игре множества стратегий остаются прежними, а функция выигрыша умножается на положительную константу (или к ней прибавляется постоянное число).

Теорема. Для существования в матричной игре image136cедловой точки (i*,j*) необходимо и достаточно, чтобы максимин был равен минимаксу:

(2.10) image138

Доказательство. Необходимость. Если (i*,j*) – седловая точка, то, согласно (2.6) :

image110

(2.11) image140

Вместе с тем имеем:

(2.12) image142

Из (2.11) и (2.12) получаем:

(2.13) image144

Рассуждая аналогично, приходим к равенствам:

(2.14) image146

image148

С другой стороны, всегда выполняется обратное неравенство (2.5), поэтому справедливым оказывается (2.10).

Достаточность. Пусть справедливо (2.10). Докажем наличие седловой точки. Имеем:

(2.15) image150

(2.16) image152

Согласно равенству (2.10), неравенства (2.15) и (2.16) превращаются в равенства. После чего имеем:

image154

image156

Теорема доказана. Попутно доказано, что общее значение максимина и минимакса равно цене игры image158.

Смешанное расширение игры

Рассмотрим матричную игру G. Если в ней существует ситуация равновесия, то минимакс равен максимину. Причем каждый из игроков может сообщить другому игроку информацию о своей оптимальной стратегии. Его соперник не сможет извлечь из этой информации никакой дополнительной выгоды. Теперь предположим, что в игре G нет ситуации равновесия. Тогда:

(2.17) image160

В этом случае минимаксная и максиминная стратегии не являются устойчивыми. Игроки могут иметь стимулы к отклонению от своих осторожных стратегий, связанные с возможностью получения большего выигрыша, но и с риском проигрыша, то есть получения выигрыша меньшего, чем при применении осторожной стратегии. При применении рискованных стратегий передача информации о них противнику имеет пагубные последствия: игрок автоматически получает выигрыш меньший, чем при применении осторожной стратегии.

Пример 3. Пусть матрица игры имеет вид:

image162

Для такой матрицы image164, т.е. ситуации равновесия не существует. Осторожными стратегиями игроков являются i*=1, j*=2. Пусть игрок 2 придерживается стратегии j*=2, а игрок 1 выберет стратегию i=2. тогда последний получит выигрыш 3, что на две единицы больше, чем максимин. Если, однако, игрок 2 догадается о планах игрока 1, он сменит свою стратегию на j=1, и тогда первый получит выигрыш 0, то есть меньше своего максимина. Аналогичные рассуждения можно провести и для второго игрока. В целом можно сделать вывод, что применение авантюрной стратегии может в отдельной партии игры принести результат больший, чем гарантированный, но ее применение связано с риском. Возникает вопрос, нельзя ли скомбинировать надежную осторожную стратегию с авантюрной таким образом, чтобы увеличить свой средний выигрыш? По существу вопрос стоит о том, как разделить между игроками выигрыш (2.17)?

Оказывается, что разумным решением является применение смешанной стратегии, то есть случайный выбор чистых стратегий. Напомним, что стратегия игрока 1 называется смешанной, если выбор i-ой строки производится им с некоторой вероятностью pi. Такую стратегию можно отождествить с распределением вероятностей image166на множестве строк. Предположим, что первый игрок имеет m чистых стратегий, а второй – n чистых стратегий. Тогда их смешанные стратегии – это вероятностные вектора:

(2.18) image168

Рассмотрим две возможные смешанные стратегии первого игрока из примера 3: image170. Эти стратегии отличаются распределениями вероятностей между чистыми стратегиями. Если в первом случае строки матрицы выбираются игроком с равными вероятностями, то во втором случае – с разными. Когда мы говорим о смешанной стратегии, то имеем ввиду под случайным выбором не выбор «наобум», а выбор, основанный на работе случайного механизма, обеспечивающего нужное нам распределение вероятностей. Так для реализации первой из смешанных стратегий хорошо подходит подбрасывание монетки. Игрок выбирает первую строку или вторую в зависимости от того, как выпадет монетка. В среднем игрок будет одинаково часто выбирать как первую строку, так и вторую, однако выбор на конкретной итерации игры не подчинен никакому фиксированному правилу и обладает максимальной степенью скрытности: до реализации случайного механизма он неизвестен даже самому первому игроку. Для реализации второй смешанной стратегии хорошо подходит механизм жеребьевки. Игрок берет семь одинаковых бумажек, пометив три их них крестиком, и бросает в шапку. Затем, наудачу, извлекает одну из них. Согласно классической теории вероятностей он вытащит бумажку с крестиком с вероятностью 3/7, а чистую бумажку – с вероятностью 4/7. Подобный механизм жеребьевки способен реализовывать любые рациональные вероятности.

Пусть игроки придерживаются смешанных стратегий (2.18). Тогда выигрыш первого игрока на отдельно взятой итерации игры является случайной величиной: v(X,Y). Поскольку игроки выбирают стратегии независимо друг от друга, то, согласно теореме умножения вероятностей, вероятность выбора исхода (i,j) с выигрышем image172равна произведению вероятностей image174. Тогда закон распределения случайной величины v(X,Y) задан следующей таблицей

image176

Пусть теперь игра разыгрывается бесконечно долго. Тогда средний выигрыш в такой игре равен математическому ожиданию величины v(X,Y).

(2.19) image178

При конечном, но достаточно большом числе итераций игры средний выигрыш будет незначительно отличаться от величины (2.19).

Пример 4. Рассчитаем средний выигрыш (2.19) для игры из примера 3 при использовании игроками следующих стратегий: image180. Матрица выигрышей и матрица вероятностей выглядят следующим образом:

image182

(2.20) image184

Таким образом, средний выигрыш (2.20) имеет промежуточное значение между максимином и минимаксом.

Поскольку для любой пары смешанных стратегий X и Y можно подсчитать среднее значение игры, то возникает задача о поиске оптимальной стратегии. Естественно начать с исследования осторожных стратегий. Осторожная стратегия первого игрока обеспечивает ему максимин. Осторожная стратегия второго игрока не позволяет первому выиграть более минимакса. Самым значительным результатом в теории игр с противоположными интересами можно считать следующий:

Теорема. Всякая матричная игра имеет ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. Доказательство данной теоремы непросто. В данном курсе оно опускается.

Следствия: Существование ситуации равновесия означает, что максимин равен минимаксу, и следовательно, любая матричная игра имеет цену. Оптимальной стратегией первого игрока является максиминная стратегия. Оптимальной стратегией второго – минимаксная. Поскольку задача поиска оптимальных стратегий решена, то говорят, что любая матричная игра разрешима на множестве смешанных стратегий.

Решение игры 2х2

Пример 5. Решить игру image186. Не трудно убедиться, что седловой точки нет. Обозначим оптимальную стратегию первого игрока (х, 1-х) – это вектор столбец, но для удобства записываем его в виде строки. Оптимальную стратегию второго игрока обозначим (y,1-y).

Выигрыш первого игрока есть случайная величина со следующим распределением:

v(x,y) 2 -1 -4 7
p xy x(1-y) (1-x)y (1-x)(1-y)

Находим средний выигрыш за итерацию первого игрока – математическое ожидание случайной величины v(x,y):

image188

image190

Преобразуем данное выражение:

image192

Данное математическое ожидание состоит из константы (5/7) и переменной части: 14(x-11/14)(y-8/14). Если значение y отличается от 8/14, то первый игрок всегда может выбрать х таким образом, чтобы сделать переменную часть положительной, увеличивая свой выигрыш. Если значение х отличается от 11/14, то второй игрок всегда может выбрать y таким образом, чтобы сделать переменную часть отрицательной, уменьшая выигрыш первого игрока. Таким образом, седловая точка определяется равенствами: x*=11/14, y*=8/14.

2.5 Решение игр image194

Способ решения подобных игр покажем на примере.

Пример 6. Решить игру image196. Убеждаемся, что седловой точки нет. Обозначим смешанную стратегию первого игрока X=(х, 1-х) – это вектор столбец, но для удобства записываем его в виде строки.

Пусть первый игрок применяет стратегию Х, а второй – свою j-ю чистую стратегию. Обозначим средний выигрыш первого игрока в этой ситуации как image198. Имеем:

(2.21) image200

Изобразим графики функций (2.21) на отрезке [0,1].

image202

Ордината точки, находящейся на любом из отрезков прямых, соответствует выигрышу первого игрока в ситуации, когда он применяет смешанную стратегию (х,(1-х)), а второй игрок – соответствующую чистую стратегию. Гарантированный результат первого игрока – это нижняя огибающая семейства прямых (ломанная АВС). Наивысшая точка этой ломанной (точка В) является максимальным гарантированным результатом игрока 1. Абсцисса точки В соответствует оптимальной стратегии первого игрока.

Поскольку искомая точка В является пересечением линий image204и image206, то ее абсцисса image208может быть найдена как решение уравнения:

image210

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия первого игрока – (5/9, 4/9). Ордината точки В является ценой игры. Она равна:

(2.22) image212

Заметим, что линия, соответствующая второй стратегии второго игрока проходит выше точки В. Это означает, что если первый игрок применяет свою оптимальную стратегию, а игрок 2 – вторую, то проигрыш второго увеличивается по сравнению с применением стратегий 1 или 3. Таким образом, вторая стратегия не должна участвовать в оптимальной стратегии второго игрока. Оптимальная стратегия игрока 2 должна иметь вид: image214. Чистые стратегии 1 и 3 второго игрока, имеющие в оптимальной стратегии ненулевые составляющие, принято называть существенными. Стратегия 2 называется несущественной. Из рисунка выше, а также из равенства (2.22) видно, что при применении первым игроком своей оптимальной стратегии выигрыш второго игрока не зависит от того, какую из своих существенных стратегий он применяет. Он может применить также любую смешанную стратегию, состоящую из существенных (в частности – оптимальную), выигрыш и в этом случае не изменится. Совершенно аналогичное утверждение справедливо и для противоположного случая. Если второй игрок применяет свою оптимальную стратегию, то выигрыш первого игрока не зависит от того, какую из своих существенных стратегий он применяет и равен цене игры. Пользуясь этим утверждением, найдем оптимальную стратегию второго игрока.

Пусть оптимальная стратегия игрока 2 есть Y*=(y*, 0, 1-y*) и пусть первый игрок использует свою первую чистую стратегию. Тогда:

image216

Таким образом, оптимальная стратегия второго игрока : image218Игра полностью решена.

Доминирование стратегий

Игры размером image220решаются так же, как и игры image194. Для этого достаточно переименовать игроков.

Если минимальный из размеров матрицы больше двух, то решение игры находится методами линейного программирования. В некоторых случаях удается, однако, уменьшить размер матрицы и, тем самым, упростить решение. Уменьшение размеров матрицы производится при помощи приема, основанного на понятии доминирования.

Пусть image223— две строки матрицы игры, а image225— два ее столбца.

Определение. Говорят, что строка image227доминирует строку image229, если image231. Говорят, что столбец image233доминирует столбец image235, если image237.

Вернемся к матрице игры из примера 6. В ней третий столбец покомпонентно меньше второго. Это означает что третья стратегия выгоднее для второго игрока нежели вторая вне зависимости от того, какой выбор сделает первый игрок. Это и означает, что третья стратегия доминирует вторую. Вторая стратегия никогда не будет использоваться вторым игроком. Значит она несущественна и может быть удалена из матрицы игры.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 7. Пусть дана матричная игра:

image239

Первая строка покомпонентно меньше второй. Значит, игрок 1 никогда не будет ее применять, и потому матрицу можно упростить, удалив первую строку. В результате получается матрица:

image241

У вновь полученной матрицы первый столбец доминируется вторым, поэтому его тоже можно убрать. Окончательно исходная матрица упрощается до:

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector