Вектор. Координаты вектора.
Формула определения координат вектора для двухмерных задач.
В случае двухмерной задачи вектор 
с известными координатами точек A(х1;у1) и B(x2;y2) можно вычислить:
= (x2 – x1 ; y2 – y1).
Формула определения координат вектора для пространственных задач.
В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х1;у1;z1) и B(x2;y2;z2) можно вычислить применив формулу:
= (x2 – x1 ; y2 – y1;z2 – z1).
Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора. (Свойство 3, приведенное ниже).
Свойства координат вектора.
1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты.
2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.
3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.
4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.
5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов.
6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.
Чему равны координаты координатных векторов
Сформулируем ряд базовых определений.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.
то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора 
направляющими, и для них выполняется соотношение: 
Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы 
своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если
Геометрически два вектора складываются по двум правилам:
а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;
б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.
Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
При λ>0 – вектор 
сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.
4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор 
задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:
1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть 
;
2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;
3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.
Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.
5. Скалярным произведением 
векторов и 
называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть
Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения 
Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть 
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :
С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы 
на прямолинейном участке пути.
Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):
Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).
Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?
Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix 
Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала
Угол φ между и 
находим по формуле (2.29), то есть
– 
перпендикулярен векторам и ;
– векторы 
образуют правую тройку (рис. 2.15).
Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат
Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны 
Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю
Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.
— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;
Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение
Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).
Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения
Теорема 2.7. Если три вектора 
заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть
Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен
Решение. Найдем координаты векторов
По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах 
равен 
(единиц объема)
Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.
получим выражение вектора 
через остальные векторы 
Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все
Базисом n – мерного пространства En называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.
Произвольный вектор 
n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:
Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.
Метод координат (ЕГЭ 2022)
Метод координат — это твоя «палочка-выручалочка»! Он позволит тебе свести многие задачи по геометрии к простой алгебре.
Метод в особенности хорош, когда ты неуверенно чувствуешь себя в построении пространственных фигур, сечений и т. д.
Конечная цель статьи – научить тебя пользоваться методом координат, чтобы решать задачи ЕГЭ повышенной сложности для трехмерных фигур.
Давай с ним разберемся!
Метод координат — коротко о главном
Вектор – направленный отрезок. \( \displaystyle A\) — начало вектора, \( \displaystyle B\)-конец вектора.
Вектор обозначается \( \displaystyle a\) или \( \displaystyle \overline\).
Абсолютная величина вектора – длина отрезка, изображающего вектор. Обозначается, как \( \displaystyle \left| a \right|\).
Координаты вектора \( \displaystyle a\):
Произведение векторов: \( \displaystyle \lambda \overline(<_<1>>,\text< ><_<2>>)\text< >=
Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними:
Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов (например, положение шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и букв).
Система координат
С чего было бы логично начать обсуждение метода координат? Наверное, с понятия системы координат. Вспомни, когда ты с нею впервые столкнулся.
Мне кажется, что в 7 классе, когда ты узнал про существование линейной функции \( y=ax+b\), например, \( y=2
Напомню, ты строил ее по точкам. Помнишь?
Ты выбирал произвольное число \( x\), подставлял ее в формулу \( y=2
Например, если \( x=0\), то \( y=2\cdot 0-3=-3\), если же \( x=1\), то \( y=2\cdot 1-3=-1\)и т. д.
Что же ты получал в итоге?
А получал ты точки с координатами: \( A\left( 0,-3 \right)\) и \( B\left( 1,-1 \right)\).
Далее ты рисовал «крестик» (систему координат \( X0Y\)), выбирал на ней масштаб (сколько клеточек у тебя будет единичным отрезком) и отмечал на ней полученные тобою точки, которые затем соединял прямой линией, полученная линия и есть график функции \( y=2
Тут есть несколько моментов, которые стоит объяснить тебе чуть подробнее:
Векторы
Теперь давай с тобой сделаем следующий шаг: отметим две точки \( \displaystyle A\left( <
Соединим эти две точки отрезком. И поставим стрелочку так, как будто мы проводим отрезок из точки \( \displaystyle A\) к точке \( \displaystyle B\):
То есть мы сделаем наш отрезок направленным!
Вспомни, как еще называется направленный отрезок? Верно, он называется вектором!
Вектором называется направленный отрезок, имеющий начало и конец.
Таким образом, если мы соединим точку \( \displaystyle A\) c точкой \( \displaystyle B\), причем началом у нас будет точка A, а концом – точка B, то мы получим вектор \( \displaystyle \overrightarrow
Это построение ты тоже делал в 8 классе, помнишь?
Координаты вектора
Оказывается, векторы, как и точки, можно обозначать двумя цифрами: эти цифры называются координатами вектора.
Вопрос: как ты думаешь, достаточно ли нам знать координаты начала и конца вектора, чтобы найти его координаты?
Оказывается, что да! И делается это очень просто:
Координаты вектора = координаты точки конца – координаты точки начала.
Таким образом, так как в векторе \( \displaystyle \overrightarrow
Например, если \( \displaystyle A\left( 2,0 \right)\)\( \displaystyle B\left( 1,2 \right)\), то координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow
Теперь давай сделаем наоборот, найдем координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow
Что нам для этого нужно поменять? Да, нужно поменять местами начало и конец: теперь начало вектора будет в точке \( \displaystyle B\), а конец – в точке \( \displaystyle A\).
\( \displaystyle \overrightarrow
Посмотри внимательно, чем отличаются векторы \( \displaystyle \overrightarrow
Единственное их отличие – это знаки в координатах. Они противоположны. Этот факт принято записывать вот так:
Иногда, если не оговаривается специально, какая точка является началом вектора, а какая – концом, то векторы обозначают не двумя заглавными буквами, а одной строчной, например: \( \displaystyle <\vec>\), \( \displaystyle <\vec
>\) и т. д.
Еще больше о векторах и проекциях (эту тему мы непременно затронем) ты можешь прочитать в статье по физике «Большая теория по векторам» 🙂
Теперь немного потренируйся сам и найди координаты следующих векторов:
Проверка:
А теперь реши задачку чуть посложнее:
Вектор \( \displaystyle \overrightarrow
4 \right)\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 6;
2 \right)\). Найдите абсциссу точки \( \displaystyle B\).
Решение:
Все тоже довольно прозаично: пусть \( \displaystyle (x,y)\) – координаты точки \( \displaystyle B\). Тогда
Систему я составил по определению того, что такое координаты вектора. Тогда точка \( \displaystyle B\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 8,6 \right)\). Нас интересует абсцисса. Тогда
Ответ: \( \displaystyle 8\)
Действия с векторами
Что еще можно делать с векторами?
Да почти все то же самое, что и с обычными числами:
Что же происходит при выполнении этих действий с координатами векторов?
1. При сложении (вычитании) двух векторов, мы складываем (вычитаем) поэлементно их координаты.
2. При умножении (делении) вектора на число, все его координаты умножаются (делятся) на это число:
Сложение и вычитание векторов (визуализация)
Кстати, все эти операции имеют вполне наглядное геометрическое или визуальное представление.
Например, правило треугольника (или параллелограмма) для сложения и вычитания.
Сложение векторов по правилу треугольника:
Вычитание векторов по правилу треугольника:
Сложение векторов по правилу параллелограмма:
Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:
Например:
Найдите сумму координат вектора \( \vec+\vec\).
Вектор растягивается или сжимается или меняет направление при умножении или делении на число:
Давай вначале найдем координаты каждого из векторов.
Оба они имеют одинаковое начало – точку начала координат. Концы у них разные.
Тогда сумма координат полученного вектора равна \( 20\).
Ответ: \( 20\)
Теперь реши сам следующую задачу:
Найти сумму координат вектора \( 3\vec-2\vec\)
Ответ: \( 0\)
Расстояние между двумя точками на координатной плоскости
Давай рассмотрим теперь следующую задачу: у нас есть две точки на координатной плоскости. Как найти расстояние между ними?
Обозначим расстояние между ними через \( d\). Давай сделаем для наглядности следующий чертеж:
А также из точки \( <
_<1>>\) провел линию, параллельную оси \( Ox\), а из точки \( <
_<2>>\) провел линию, параллельную оси \( Oy\).
Они пересеклись в точке \( R\), образовав при этом замечательную фигуру. Чем она замечательна?
Да мы с тобой почти что все знаем про прямоугольный треугольник. Ну уж теорему Пифагора – точно!
Искомый отрезок – это гипотенуза этого треугольника, а отрезки \( <
_<1>>R,
Чему равны координаты точки \( R\)?
Да, их несложно найти по картинке: \( R\left( <
Так как отрезки \( <
_<1>>R,
<
_<2>>R\) параллельны осям \( Ox\) и \( Oy\) соответственно, то их длины легко найти: если обозначить длины отрезков \( <
_<1>>R,
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. Длины катетов нам известны, гипотенузу мы найдем:
Таким образом, расстояние между двумя точками – это корень из суммы квадратов разностей из координат.
Или же – расстояние между двумя точками – это длина отрезка, их соединяющего.
Легко заметить, что расстояние между точками не зависит от направления.
Отсюда делаем три вывода:
Давай немного поупражняемся в вычислении расстояния между двумя точками:
Например, если \( A\left( 1,2 \right),
B\left( 3,4 \right)\), то расстояние между \( A\) и \( B\) равно
Или пойдем по-другому: найдем координаты вектора \( \overrightarrow
\( \overrightarrow
И найдем длину вектора:
Как видишь, одно и то же!
Теперь немного потренируйся сам:
Задание. Найти расстояние между указанными точками:
Вот еще пара задачек на ту же формулу, правда звучат они немного по-другому:
1. Найдите квадрат длины вектора \( \vec-\vec\).
2. Найдите квадрат длины вектора \( \overrightarrow
Я так думаю, ты с ними без труда справился? Проверяем:
1. А это на внимательность) Мы уже нашли координаты векторов \( \displaystyle <\vec>\) и \( \displaystyle <\vec>\) ранее: \( \displaystyle \vec\left( 2,6 \right),
2. Найдем координаты вектора \( \displaystyle \overrightarrow
Тогда квадрат его длины равен
Ничего сложного, правда? Обычная арифметика, не более того.
Следующие задачки нельзя однозначно классифицировать, они скорее на общую эрудицию и на умение рисовать простенькие картинки.
Задача 1. Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки \( \displaystyle O\left( 0;
0 \right)\),\( \displaystyle A\left( 6;
8 \right)\) с осью абсцисс.
Как мы будем поступать здесь?
Нужно найти синус угла между \( \displaystyle OA\) и осью \( \displaystyle Ox\).
А где мы умеем искать синус? Верно, в прямоугольном треугольнике.
Так что нам нужно сделать? Построить этот треугольник!
Поскольку координаты точки \( \displaystyle A-6\) и \( \displaystyle 8\), то отрезок \( \displaystyle OB\) равен \( \displaystyle 6\), а отрезок \( \displaystyle AB-8\).
Нам нужно найти синус угла \( \displaystyle \angle AOB\).
Напомню тебе, что синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, тогда
\( \displaystyle sin\angle AOB=\frac
Что нам осталось сделать?
Ты можешь сделать это двумя способами: по теореме Пифагора (катеты-то известны!) или по формуле расстояния между двумя точками (на самом деле одно и то же, что и первый способ!).
Я пойду вторым путем:
\( \displaystyle sin\angle AOB=\frac
Ответ: \( \displaystyle 0.8\)
Следующая задача покажется тебе еще проще. Она – на координаты точки.
Задача 2. Из точки \( \displaystyle A\left( 6;8 \right)\) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.
Давай сделаем рисунок:
Основание перпендикуляра – это та точка, в которой он пересекает ось абсцисс (ось \( \displaystyle Ox\)) у меня это точка \( \displaystyle B\).
По рисунку видно, что \( \displaystyle B\) имеет координаты: \( \displaystyle B\left( 6,0 \right)\).
Нас интересует абсцисса – то есть «иксовая» составляющая. Она равна \( \displaystyle 6\).
Ответ: \( \displaystyle 6\).
Задача 3. В условиях предыдущей задачи найти сумму расстояний от точки \( \displaystyle A\) до осей координат.
Задача – вообще элементарная, если знать, что такое расстояние от точки до осей.
Я надеюсь, но все же напомню тебе:
Расстояние от точки до осей координат – это длины перпендикуляров, опущенных из точки к осям.
Итак, на моем рисунке, расположенном чуть выше, я уже изобразил один такой перпендикуляр. К какой он оси?
К оси \( \displaystyle Ox\).
И чему же равна тогда его длина?
Она равна \( \displaystyle 8\).
Теперь сам проведи перпендикуляр к оси \( \displaystyle Oy\) и найди его длину. Она будет равна \( \displaystyle 6\), ведь так?
Тогда их сумма равна \( \displaystyle 14\).
Ответ: \( \displaystyle 14\).
Задача 4. В условиях задачи 2, найдите ординату точки, симметричной точке \( \displaystyle A\) относительно оси абсцисс.
Я думаю, тебе интуитивно ясно, что такое симметрия?
Очень многие объекты ею обладают: многие здания, столы, самолеты, многие геометрические фигуры: шар, цилиндр, квадрат, ромб и т. д.
Грубо говоря, симметрию можно понимать вот как: фигура состоит из двух (или более) одинаковых половинок. Такая симметрия называется осевой.
А что тогда такое ось?
Это как раз та линия, по которой фигуру можно, условно говоря, «разрезать» на одинаковые половинки (на данной картинке ось симметрии – прямая \( \displaystyle l\)):
Теперь давай вернемся к нашей задаче.
Нам известно, что мы ищем точку, симметричную относительно оси \( \displaystyle Ox\).
Тогда эта ось – ось симметрии.
Попробуй сам отметить такую точку. А теперь сравни с моим решением:
У тебя получилось так же?
Хорошо! У найденной точки нас интересует ордината.
А теперь скажи мне, подумав \( \displaystyle 10\) секунд, чему будет равна абсцисса точки, симметричной точке A относительно оси ординат?
В общем случае правило можно записать вот так:
Ну и теперь совсем страшная задача: найти координаты точки, симметричной точке \( \displaystyle A\), относительно начала координат.
Ты вначале подумай сам, а потом посмотри на мой рисунок!
Теперь задачка на параллелограмм:
Задача 5. Точки \( \displaystyle O\left( 0;
\) являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки \( \displaystyle B\).
Можно решать эту задачу двумя способами: логикой и методом координат.
Я вначале применю метод координат, а потом расскажу тебе, как можно решить иначе.
Совершенно ясно, что абсцисса точки \( \displaystyle B\) равна \( \displaystyle 6\). (она лежит на перпендикуляре, проведенной из точки \( \displaystyle A\) к оси абсцисс).
Нам нужно найти ординату.
Воспользуемся тем, что наша фигура – параллелограмм, это значит, что \( \displaystyle CA=OB\).
Найдем длину отрезка \( \displaystyle CA\), используя формулу расстояния между двумя точками:
Опускаем перпендикуляр, соединяющий точку \( B\) с осью \( Ox\).
Точку пересечения обозначу буквой \( D\).
Длина отрезка \( OD\) равна \( 6\). (найди сам задачу, где мы обсуждали этот момент), тогда найдем длину отрезка \( BD\) по теореме Пифагора:
Длина отрезка – в точности совпадает с его ординатой.
Ответ: \( 2\).
Другое решение (я просто приведу рисунок, который его иллюстрирует)
Еще одна задачка на длину отрезка:
2 \right)\) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии \( CD\), параллельной \( OA\).
Ты помнишь, что такое средняя линия треугольника?
Тогда для тебя эта задача элементарна. Если не помнишь, то я напомню: средняя линия треугольника – это линия, которая соединяет середины противоположных сторон.
Она параллельна основанию и равна его половине.
Основание – это отрезок \( OA\).
Его длину нам приходилось искать ранее, оно равно \( 10\).
Тогда длина средней линии вдвое меньше и равна \( 5\).
Ответ: \( 5\).
Комментарий: эту задачу можно решить и другим способом, к которому мы обратимся чуть позже.
А пока – вот тебе несколько задачек, потренируйся на них, они совсем простые, но помогают «набивать руку», на использовании метода координат!
1. Точки \( O\left( 0;
6 \right)\) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии \( DE\).
2. Точки \( O\left( 0;
6 \right)\) и \( A\) являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки \( A\).
3. Найдите длину отрезка, соединяющего точки \( A\left( 6 ;
4. Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.
5. Окружность с центром в начале координат проходит через точку \( \displaystyle P\left( 8;\text< >6 \right)\). Найдите ее радиус.
Решения:
1. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
Основание \( \displaystyle CB\) равно \( \displaystyle 6\), а основание \( \displaystyle OA-10\).
Тогда \( \displaystyle ED=\frac
Ответ: \( \displaystyle 8\)
2. Проще всего решить эту задачу так: заметить, что \( \displaystyle \overrightarrow
Вычислить координаты векторов \( \displaystyle \overrightarrow
\overrightarrow
При сложении векторов координаты складываются.
Тогда \( \displaystyle \overrightarrow
Эти же координаты имеет и точка \( \displaystyle A\), поскольку начало вектора \( \displaystyle \overrightarrow
Нас интересует ордината. Она равна \( \displaystyle 8\).
Ответ: \( \displaystyle 8\)
3. Действуем сразу по формуле расстояния между двумя точками:
Ответ: \( \displaystyle 10\)
4. Посмотри на картинку и скажи, между какими двумя фигурами «зажата» заштрихованная область?
Она зажата между двумя квадратами. Тогда площадь искомой фигуры равна площади большого квадрата минус площадь маленького.
Сторона маленького квадрата – это отрезок, соединяющий точки \( \displaystyle \left( 0,2 \right)\) и \( \displaystyle \left( 2,0 \right).\) Его длина равна
Тогда площадь маленького квадрата равна
Точно так же поступаем и с большим квадратом: его сторона – это отрезок, соединяющий точки \( \displaystyle \left( 0,4 \right)\) и \( \displaystyle \left( 4,0 \right).\)
Тогда площадь большого квадрата равна
Площадь искомой фигуры найдем по формуле:
Ответ: \( \displaystyle 24\)
5. Если окружность имеет в качестве центра начало координат и проходит через точку \( \displaystyle P\), то ее радиус \( \displaystyle R\) будет в точности равен длине отрезка \( \displaystyle OP\) (сделай рисунок и ты поймешь, почему это очевидно).
Найдем длину этого отрезка:
Ответ: \( \displaystyle 10\)
6. Известно, что радиус описанной около прямоугольника окружности равен половине его диагонали.
Найдем длину любой из двух диагоналей (ведь в прямоугольнике они равны!)
\( \displaystyle R=\frac<1><2>\left| AC \right|=5\)
Ответ: \( \displaystyle 5\)
Ну что, ты со всем справился?
Было не очень сложно разобраться, ведь так? Правило здесь одно – уметь сделать наглядную картинку и просто «считать» с нее все данные.
Нам осталось совсем немного. Есть еще буквально два момента, которые бы мне хотелось обсудить:
Координаты середины отрезка
Давай попробуем решить вот такую нехитрую задачку.
Пусть даны две точки \( \displaystyle A\left( <
Найти координаты середины отрезка \( \displaystyle AB\). Решение этой задачки следующее: пусть точка \( \displaystyle D\) – искомая середина, тогда \( \displaystyle D\) имеет координаты:
То есть: координаты середины отрезка = среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка.
Это правило очень простое и как правило не вызывает затруднений у учащихся. Давай посмотрим, в каких задачках и как оно употребляется:
1. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки \( \displaystyle A\left( 6,
2. Точки \( \displaystyle O\left( 0;
6 \right)\) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки \( \displaystyle P\) пересечения его диагоналей.
Решения:
1. Первая задачка – просто классика. Действуем сразу по определению середины отрезка. Она имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<6-2><2>,
Ордината равна \( \displaystyle 5\).
Ответ: \( \displaystyle 5\)
2. Легко видеть, что данный четырехугольник является параллелограммом (даже ромбом!). Ты и сам можешь это доказать, вычислив длины сторон и сравнив их между собой.
Что я знаю про параллелограмм?
Его диагонали точкой пересечения делятся пополам! Ага! Значит точка пересечения диагоналей – это что?
Это середина любой из диагоналей!
Выберу, в частности диагональ \( \displaystyle OA\). Тогда точка \( \displaystyle P\) имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<6+0><2>,\frac<8+0> <2>\right)=\left( 3,4 \right).\)
Ордината точки \( \displaystyle P\) равна \( \displaystyle 4\).
Ответ: \( \displaystyle 4\)
3. С чем совпадает центр описанной около прямоугольника окружности?
Он совпадает с точкой пересечения его диагоналей. А что ты знаешь про диагонали прямоугольника?
Они равны и точкой пересечения делятся пополам. Задача свелась к предыдущей.
Возьму, например, диагональ \( \displaystyle AC\). Тогда если \( \displaystyle P\) – центр описанной окружности, то \( \displaystyle P\) – середина \( \displaystyle AC\).
Ищу координаты: \( \displaystyle P\left( \frac<-2+6><2>,\frac<-2+4> <2>\right)=P\left( 2,1 \right).\) Абсцисса равна \( \displaystyle 2\).
Ответ: \( \displaystyle 2\)
Теперь потренируйся немного самостоятельно, я лишь приведу ответы к каждой задачи, чтобы ты мог себя проверить.
1. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты \( \displaystyle \left( 8;
2. Найдите ординату центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты \( \displaystyle \left( 8;
3. Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке \( \displaystyle P\left( 8;
6 \right),\) чтобы она касалась оси абсцисс?
Умножение векторов
Все удалось? Очень на это надеюсь! Теперь – последний рывок.
Сейчас будь особенно внимателен. Тот материал, который я сейчас буду объяснять, имеет непосредственное отношение не только к простым задачам на метод координат, но также встречается повсеместно и в задачах повышенной сложности.
Какое из своих обещаний я еще не сдержал?
Вспомни, какие операции над векторами я обещал ввести и какие в конечном счете ввел? Я точно ничего не забыл?
Забыл! Забыл объяснить, что значит умножение векторов.
Есть два способа умножить вектор на вектор. В зависимости от выбранного способа у нас будут получаться объекты разной природы:
Векторное произведение выполняется довольно хитро. Как его делать и для чего оно нужно, мы с тобой обсудим чуть позже. А пока мы остановимся на скалярном произведении.
Есть аж два способа, позволяющих нам его вычислить:
Как ты догадался, результат должен быть один и тот же! Итак, давай вначале рассмотрим первый способ:
