Равнобедренный треугольник. Онлайн калькулятор
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) а также периметр, площадь, высоты равнобедренного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
Определение равнобедренного треугольника
Определение 1 (Евклид). Треугольник, в котором длины двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.
Равные стороны равнобедренного трекугольника называются боковыми сторонами. Третья сторона равнобедренного треугольника называется основанием треугольника (Рис.1).
Угол между боковыми сторонами равнобедненного треугольника (\( \small \angle A \) ) называется вершинным углом. Углы между основанием и боковыми сторонами (\( \small \angle B, \ \angle C \) ) называются углами при основании.
 |
Существует более общее определение равнобедненого треугольника:
Определение 2 (Современная трактовка). Треугольник, в котором длины хотя бы двух сторон равны между собой называется равнобедренным треугольником.
Из определения 2 следует, что равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Действительно, в качестве равных сторон можно взять любые две стороны равностороннего треугольника, а третья сторона будет основанием.
Теорема о равнобедренном треугольнике
Теорема 1. Углы, прилежащие к основанию равнобедренного треугольника равны.
 |
Доказательство (доказательство Прокла). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.2). Докажем, что \( \small \angle B= \angle C. \) Возьмем любую точку D на стороне AC и точку E на стороне AB так, чтобы AD=AE. Проведем отрезки DE, CE, BD. Треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними: AE=AD, AC=AB, угол \( \small \angle A \) общий (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Отсюда следует:
Из \( \small AB=AC\) и \( \small AD=AE \) следует:
Из (2) и (4) следует, что \( \small \angle B= \angle C. \)
 |
Доказательство (Вариант 2). Пусть задан равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC (Рис.3). Проведем биссектрису \( \small AH \) треугольника. Тогда \( \small \angle CAH=\angle BAH. \) Докажем, что \( \small \angle B= \angle C. \) Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона \( \small AH \) общая, \( \small \angle CAH=\angle BAH. \) Отсюда следует: \( \small \angle B= \angle C. \)
Свойства равнобедренного треугольника
Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса проведенная к основанию является медианой и высотой.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB=AC, а AH− биссектриса треугольника (Рис.3). Треугольники AHB и AHC равны по двум сторонам и углу между ними: AC=AB, сторона \( \small AH \) общая, \( \small \angle 1=\angle 2. \) Тогда \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 3=\angle 4. \) Равенство \( \small CH=HB \) означает, что \( \small AH \) является также медианой треугольника ABC. Углы \( \small \angle 3\) и \( \angle 4 \) смежные. Следовательно их сумма равна 180° и, поскольку эти углы равны, то каждый из этих углов равен 90°. Тогда \( \small AH \) является также высотой треугольника \( \small ABC. \) Поскольку высота \( \small AH \) перпендикулярна к \( \small BC \) и \( \small CH=HB, \) то \( \small AH \) является также серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника.
Мы доказали, что биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр равнобедренного треугольника, проведенные к основанию совпадают.
Исходя из теоремы 2 можно сформулировать следующие теоремы, доказательство которых аналогично доказательству теоремы 2:
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является биссектрисой и медианой.
Признаки равнобедренного треугольника
Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.
Признак 1 следует из определения 1.
Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).
Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small CH=HB. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)
Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small \angle 1=\angle2. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по стороне и прилежащим двум углам (второй признак равенства треугольников): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small \angle 1=\angle 2, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)
  |
Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.
Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда
Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHC \):
Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHB \):
тогда, из (5), (6), (7) получим:
 |
Треугольники \( \small AHB \) и \( \small DHC \) равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Действительно: \( \small AH=HD, \) \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 4=\angle 5 \) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда \( \small AB=CD, \) \( \small \angle 6=\angle 2. \) Отсюда \( \small \angle 6=\angle 1. \) Получили, что треугольник \( \small CAD \) равнобедренный (признак 2). Тогда \( \small AC=CD. \) Но \( \small AB=CD \) и, следовательно \( \small AB=AC. \) Получили, что треугольник \( \small ABC \) равнобедренный.
1. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и боковой стороне
Если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и боковой стороне другого равнобедненного треугольника, то эти треугольники равны.
Действительно. Поскольку треугольник равнобедренный, то боковые стороны равны. То есть три стороны одного равнобедренного треугольника соответственно равны трем сторонам другого равнобедненного треугольника. А по третьему признаку равенства треугольников, эти треугольники равны.
2. Признак равенства равнобедренных треугольников по боковой стороне и углу при вершине
Если боковая сторона и угол при вершине одного равнобедренного треугольники соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Действительно. Так как боковые стороны равнобедненного треугольника равны, то имеем: две стороны и угол между ними одного треугольника соотвественно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Тогда по первому признаку равенства треугольников, эти реугольники равны.
3. Признак равенства равнобедренных треугольников по основанию и углу при основании
Если основание и угол при основании равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. тогда имеем: основание и две углы одного равнобедненного треугольника равны основанию и двум углам другого равнобедненного треугольника. Тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Задачи и решения
Задача 1. Известны основание \( \small a=5 \) и высота \( \small h=6 \) равнобедренного треугольника. Найти углы, боковые стороны, периметр, площадь.
 |
Решение. Найдем боковые стороны \( \small b \) и \( \small c \) равнобедренного треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора:
 |
Подставляя значения \( \small a \) и \( \small h \) в (9), получим:
 |
Боковая сторона \( \small c \) равнобедренного треугольника равна:
 |
Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
Подставляя значения \( \small a=5, \) \( \small b=6.5 \) и \( \small c=6.5 \) в (10), получим:
 |
Найдем угол \( \small B \) равнобедренного треугольника:
Подставляя значения \( \small a=5, \) \( \small h=6 \) в (11), получим:
 |
Тогда угол \( \small C \) равнобедренного треугольника равен:
 |
Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то имеем:
  , |
 |
Площадь треугольника можно вычислить из формулы:
Подставляя значения \( \small a=5, \) \( \small h=6 \) в (12), получим:
Углы равнобедренного треугольника
Треугольник с одинаковыми боковыми сторонами называется равнобедренным. В нем равны и углы при основании. Если они известны, то вычислить третий угол не составит труда. Как известно, сумма всех углов треугольника равна 180°. Если из 180° вычесть сумму двух одинаковых углов при основании (а), то найдем третий угол β:
β = 180°-2α
Если известна величина угла b, противолежащего основанию и требуется найти угол (а) при основании, необходимо из 180° вычесть известный угол β. Полученную величину делим на два, т.к. углы при основании равны.
α= (180°-β)/2
Если известны стороны равнобедренного треугольника, можно рассчитать все его углы. Чтобы найти угол при основании, проведем к основанию высоту, которая делит основание пополам, а треугольник — на два одинаковых прямоугольных треугольника. Гипотенузой вновь образованных треугольников будет боковая сторона равнобедренного треугольника (а), а одним из катетов — половина длины основания (b/2). Используя теорему косинусов определяем косинус угла (а), как отношение прилежащего к искомому углу катета (b/2) к гипотенузе (а) по формуле:
cosα= b/2a
Рассчитать угол при основании равнобедренного треугольника можно также через катеты образованного в нем прямоугольного треугольника (например, abc). Одним из его катетов (b) будет половина длины основания равнобедренного треугольника, другим катетом (а) — высота равнобедренного треугольника. Найти угол α при основании треугольника можно через тангенс угла, как отношение противолежащего ему катета (а) к прилежащему катету (b).
tg (α) = a/b
В таблицк тангенсов находим угол α в градусах. Т.к. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то найти третий угол не составит труда, зная, что сумма всех его углов равна 180°.
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Напомним, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.
Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180°, то второго угла в 110° в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110° — это угол при вершине.
Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, значит (180° − 110°) / 2 = 35°.
Так как внешний угол и внутренний угол при этой же вершине являются смежными углами, а сумма смежных углов равна 180 градусов, значит, внешние углы треугольника равны: 180° − 110° = 70°, 180° − 35° = 145°, 180° − 35° = 145°.
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны между собой.
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны
2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию совпадают между собой
3. Углы при основании равнобедренного треугольника вычисляются по следующей формуле:
,
где 
– угол напротив основания.
4. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов при основании равны между собой
5. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане=высоте=биссектрисе, проведенной к основанию
Признаки равнобедренного треугольника
1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если в треугольнике медиана является и высотой (биссектрисой), то такой треугольник равнобедренный.
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
Равнобедренные треугольники
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.
6. В равнобедренном треугольнике:
— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;
— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.
7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.
8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
