чему равны углы в правильной шестиугольной пирамиде

Геометрические фигуры. Пирамида. Углы пирамиды.

Соседние двугранные углы при основании пирамиды равны.

Если соседние двугранные углы при основании пирамиды равны, значит, вершина пирамиды проецируется на биссектрису угла между соответствующими соседними ребрами основания.

Треугольная пирамида, с одной боковой гранью перпендикулярной основанию, а 2 другие наклонены к основанию под одинаковыми углами.

Когда в треугольной пирамиде 1 из боковых граней перпендикулярна основанию, а 2 оставшиеся образуют с основанием одинаковые углы, значит высота пирамиды оказывается высотой боковой грани, а ортогональная проекция вершины пирамиды — основанием биссектрисы треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Значит SO — это высота пирамиды и она лежит в боковой грани SAC, а BO — биссектриса треугольника ABC, т.е.:

Пирамиды, в которых все двугранные углы при основании равны.

Когда все двугранные углы при ребрах основания равны, значит:

1) Вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности;

где — двугранный угол при основании пирамиды.

Зачастую эту формулу используют для определения площади боковой поверхности пирамиды:

Значит, площадь полной поверхности пирамиды равняется:

3) Площадь боковой поверхности в этом случае тоже находят по формуле:

где p — полупериметр основания, l — высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Источник

Правильная шестиугольная пирамида. Формулы объема и площади поверхности. Решение геометрической задачи

Стереометрия, как раздел геометрии в пространстве, изучает свойства призм, цилиндров, конусов, шаров, пирамид и других объемных фигур. Данная статья посвящена подробному рассмотрению характеристик и свойств шестиугольной правильной пирамиды.

Какая пирамида будет изучаться

Правильная шестиугольная пирамида представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним и равноугольным шестиугольником, и шестью одинаковыми треугольниками равнобедренными. Эти треугольники могут быть также равносторонними при определенных условиях. Эта пирамида ниже показана.

Вам будет интересно: Топ-10 самых правильных переводчиков

Правильная шестиугольная пирамида имеет 7 граней, которые были названы выше. Также ей принадлежат 7 вершин и 12 ребер. В отличие от призм, у всех пирамид имеется одна особая вершина, которая образована пересечением боковых треугольников. Для правильной пирамиды она играет важную роль, поскольку опущенный с нее на основание фигуры перпендикуляр является высотой. Далее высоту будем обозначать буквой h.

Показанная пирамида называется правильной по двум причинам:

Площадь поверхности

Свойства правильной пирамиды шестиугольной начнем рассматривать с определения ее площади. Для этого сначала полезно привести развертку фигуры на плоскости. Схематическое ее изображение показано ниже.

Видно, что площадь развертки, а значит, и всей поверхности рассматриваемой фигуры, равна сумме площадей шести одинаковых треугольников и одного шестиугольника.

Для определения площади шестиугольника S6 воспользуемся универсальной формулой для правильного n-угольника:

Где буквой a обозначена длина стороны шестиугольника.

Площадь треугольника S3 боковой стороны найти можно, если знать величину его высоты hb:

Поскольку все шесть треугольников равны между собой, то получаем рабочее выражение для определения площади шестиугольной пирамиды с правильным основанием:

S = S6 + 6*S3 = 3*√3/2*a2 + 6*1/2*hb*a = 3*a*(√3/2*a + hb).

Объем пирамиды

Так же, как и площадь, объем шестиугольной правильной пирамиды является важным ее свойством. Этот объем рассчитывается по общей формуле для всех пирамид и конусов. Запишем ее:

Здесь символом So названа площадь шестиугольного основания, то есть So = S6.

Подставляя в формулу для V записанное выше выражение для S6, приходим к конечному равенству для определения объема пирамиды шестиугольной правильной:

Пример геометрической задачи

В шестиугольной пирамиде правильной боковое ребро в два раза больше длины стороны основания. Зная, что последнее равно 7 см, необходимо вычислить площадь поверхности и объем данной фигуры.

Как можно догадаться, решение этой задачи предполагает использование полученных выше выражений для S и V. Тем не менее сразу ими воспользоваться не получится, поскольку мы не знаем апофему и высоту правильной пирамиды шестиугольной. Займемся их вычислением.

hb = √(b2-a2/4) = √(142-72/4) = 13,555 см.

Высоту h пирамиды определить можно точно так же, как апофему, только рассматривать теперь следует треугольник со сторонами h, b и a, находящийся внутри пирамиды. Высота будет равна:

Видно, что рассчитанное значение высоты меньше такового для апофемы, что справедливо для любой пирамиды.

Теперь можно воспользоваться выражениями для объема и площади:

S = 3*a*(√3/2*a + hb) = 3*7*(√3/2*7 + 13,555) = 411,96 см2;

V = √3/2*a2*h = √3/2*72*12,124 = 514,48 см3.

Таким образом, для однозначного определения любой характеристики правильной шестиугольной пирамиды необходимо знать два любых ее линейных параметра.

Источник

Все что нужно знать о шестиугольной пирамиде

Шестиугольная пирамида

В целом это одна из последних и самых сложных тем в стереометрии. Изучается где-то в 10-11 классах и рассматривается только вариант, когда в основании находится правильная фигура. Одно из труднейших заданий по ЕГЭ зачастую бывает связано с этим параграфом.

Вам будет интересно: Удивительные факты о лошадях

И-так, в основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Что это значит? У фигуры в основании все стороны равны. Боковые же части состоят из равнобедренных треугольников. Вершины их соприкасаются в одной точке. Данная фигура представлена на фото ниже.

Как найти площадь всей поверхности и объем шестиугольной пирамиды?

В отличие от математики, которую преподают в университетах, школьная наука обучает обходить стороной и упрощать некоторые сложные понятия. Например, если не известно, как найти площадь фигуры, то приходится делить ее на части и уже по известным формулам площадей разделенных фигур находить ответ. Такому принципу нужно последовать и в представленном случае.

То есть, чтобы найти площадь поверхности всей шестиугольной пирамиды, надо найти площадь основания, затем площадь одной из боковых сторон и умножить ее на 6.

Применяются такие формулы:

Для того чтобы найти площадь всей поверхности или какой-либо ее составляющей, требуется всего лишь сторона основания шестиугольной пирамиды и апофема. Если в задаче дано это в условии, то решение не должно составить труда.

С объемом дела обстоят намного легче, но чтобы его найти, нужна высота (h) самой шестиугольной пирамиды. Ну и, конечно же, сторона основания, благодаря которой нужно найти ее площадь.

Формула выглядит следующим образом:

Вариант задачи, который может попасться на экзамене

Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Длина основания равна 3 см. Высота составляет 5 см. Найти объем данной фигуры.

Решение: V = 1/3 × (3√3/2 × 32) × 5 = 5/3 × √3/6 = 5√3/18.

Ответ: объем правильной шестиугольной пирамиды составляет 5√3/18 см.

Источник

Чему равны углы в правильной шестиугольной пирамиде

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF.

а) Докажите, что угол между прямыми SB и CD равен углу SBE.

б) Если стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

а) Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углу SBE.

б) Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: Следовательно,

Ответ:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Источник Пирамида Определение Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием, точка \(P\) – вершиной. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром. Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий: \((a)\) боковые ребра пирамиды равны; \((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности; \((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. \((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом. Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники. Теорема Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны. Доказательство Следствие Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Определение Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами. Важные замечания 1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник). 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат). 3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник). 4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании. Определение Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Важные замечания 1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота. 2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники. 3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные. То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным. Теорема Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_<\text<пирамиды>>=\dfrac13 S_<\text<осн>>\cdot h\] Следствия Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды. Теорема Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему. Определение Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания. Важные замечания 1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции. 2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой. Источник admin Вам также может понравиться чему учит рассказ храбрый портной «Храбрый портняжка» — читательский дневник по сказке братьев Гримм Сказка немецких сказочников Братьев 07 чему учит рассказ хорь и калиныч тургенев «Хорь и Калиныч» — читательский дневник по рассказу И. Тургенева Рассказ «Хорь и Калиныч» входит в цикл 09 чему учит рассказ холодная осень бунин Анализ рассказа «Холодная осень» (И.А. Бунин) Автор: Самый Зелёный · Опубликовано 22.02.2020 · Обновлено 21. 011 чему учит рассказ хозяйка медной горы Пушкин сделал! Разбор домашних заданий 1-4 класс Home » читательский дневник » Бажов П. «Хозяйка медной 09 О команде Правообладателям Политика конфиденциальности Adblock detector