Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов
Формулы суммы и разности для синусов
Определения формул сумм и разности синусов и косинусов
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.
Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.
Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов
Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже
Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.
Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.
Вывод формулы суммы синусов
В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим
Действия по выводу остальных формул аналогичны.
Вывод формулы разности синусов
Вывод формулы суммы косинусов
Вывод формулы разности косинусов
Примеры решения практических задач
Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов
Пример 2. Применение формулы разности синусов
С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.
Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:
Простейшие тригонометрические тождества
Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2) Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3) Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса. Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5) Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6) Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).
Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)
Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.
Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа). Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа. Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.
Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:
Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:
Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.
Тригонометрические тождества преобразования половины угла
Тригонометрические формулы сложения углов
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:
Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.
Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.
Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
