Средняя линия трапеции
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.
Средняя линия – это.
Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.
Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.
Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:
А вот так у треугольников:
И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:
На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.
Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.
Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:
Как найти среднюю линию трапеции (формула)
Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.
Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.
Возьмем для примера трапецию:
И тогда формула расчета будет выглядеть так:
Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.
В итоге получится вот что:
Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.
И это просто, так как у них одинаковы углы:
Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.
А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.
А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:
Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:
KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)
Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.
Свойства средней линии трапеции
У средней линии трапеции есть три главных свойства:
S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)
Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.
Вторая средняя линия
Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.
И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:
В нашем случае, это отрезок KL.
Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:
Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (2)
Очень здорово, что здесь все так подробно описано со всеми рисунками и формулами, что сразу становится все понятно.
Кто же это такой умный придумал, опять небось древние греки? Они были великими мастерами в геометрии, а мне эта наука всегда тяжело давалась, особенно с доказательствами, ужас просто, но со средней линией трапеции я разобрался, наверное поумнел за эти годы.
Серединный отрезок
Трапеция — фигура (четырехугольник), что состоит из четырех сторон, две из которых лежат на параллельных прямых, а остальные нет. Параллельные — верхнее и нижнее основание, 2 другие имеют название боковых сторон. Из этого следует, что четырехугольник состоит из двух оснований.
Средняя линия — отрезок, который соединяет середины боков фигуры и обозначается буквой m. Интересно, что если в треугольнике таких отрезков можно провести 3, то в таком четырёхугольнике исключительно одну.
Свойство и формулы
Серединная линия равняется половине сумм длины двух оснований. Это определение является теоремой, доказательство и для того чтобы его сформулировать, необходимо обратить внимание на свойство срединного отрезка в треугольнике.
Доказать теорему просто. Для этого в трапеции проводят серединный отрезок так, чтобы он опускался с верхней точки фигуры и пересекался с продленным нижним основанием. Такая линия делит четырёхугольник на два треугольника. Причем средняя линия фигуры также принадлежит треугольнику и выполняет те же функции. Она равна половине нижней стороны, которая состоит из двух отрезков, равных основаниям трапеции.
Свойство такого отрезка — в четырехугольнике он параллелен основаниям. Учитывая эти данные, их можно использовать как признак при решениях различных заданий для выявления этого понятия.
Формула для нахождения записывается так:
m = (a + b) / 2, где a, b — обозначение длины оснований.
Тригонометрия углов применима в формуле:
Полусумма оснований трапеции вычисляется через диагонали и их угол пересечения и высоту. Итак, для этого находится:
Углы а, b находятся при нижнем основании, а линия h является высотой, проведенной к этому отрезку.
Формула средней линии трапеции через площадь и высоту записывается так:
Кроме этого, такой отрезок делит фигуру на две части и имеет место соотношение их площадей, которое выражается в виде:
Что такое средняя линия трапеции
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.
Определение средней линии трапеции
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.
Свойства средней линии трапеции
Свойство 1
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.
Свойство 2
Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.
Свойство 3
Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):
Признак средней линии трапеции
Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.
Вторая средняя линия
Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.
Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.
Пример задачи
Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.
Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b) /2 ⋅ h
В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b) /2.
Все формулы средней линии трапеции
1. Формула средней линии трапеции через основания
Формула средней линии, ( m ):
2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании
Формулы средней линии трапеции, ( m ):
3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту
Трапеция и ее свойства
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.
Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:
Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер и ), и более интересные.
Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.
Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.
