ГДЗ Дидактические материалы геометрия 8 класс Мерзляк А.Г.
ГДЗ Математические диктанты, Контрольные работы (Методическое пособие) геометрия 8 класс Буцко Е.В.
ГДЗ Рабочая тетрадь геометрия 8 класс Мерзляк А.Г.
ГДЗ учебник геометрия 8 класс Мерзляк А.Г. углубленный уровень
1. Какой угол называют центральным углом окружности? 2. Как называют части окружности, на которые делят её две точки? 3. Каким символом обозначают дугу окружности? 4. В каком случае говорят, что центральный угол опирается на дугу? 5. Чему считают равной градусную меру окружности? 6. Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги, на которую этот угол опирается? 7. Сколько дуг стягивает каждая хорда? Чему равна сумма их градусных мер? 8. Какой угол называют вписанным углом окружности? 9. В каком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу? 10. Чему равна градусная мера вписанного угла? 11. Каким свойством обладают вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу? 12. Какой вид имеет вписанный угол, опирающийся на диаметр?
Центральный угол окружности — это угол, образованный двумя радиусами окружности, вершина которого совпадает с центром окружности.
O — центр окружности, AO и OB — радиусы окружности, образующие два центральных угла с вершиной в центре O.
Дуга, лежащая во внутренней области угла, называется дугой, соответствующей этому центральному углу.
Углу AOB соответствует две дуги с концами A и B. Если угол AOB является развёрнутым, то он будет разделять окружность на две равные дуги, называемые полуокружностями:
∠AOB — развёрнутый угол, ALB и AMB — полуокружности.
Градусная мера дуги окружности
Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги — это градусная мера соответствующего ей центрального угла.
AMB = ∠AOB = 180°;
NLB = ∠NOB = 135°;
Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°:
Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.
Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.
Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.
Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.
Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.
Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.
В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.
Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.
Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.
Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:
Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:
Радиан — одна из мер для определения величины угла.
Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.
Число радиан для полной окружности — 360 градусов.
Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.
Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.
Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:
Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Уравнение единичной окружности
При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:
Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра).
Часть, плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
D = 2R
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
Часть окружности называется дугой.
Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги
и, соответственно, половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.
Вписанные углы ACB, ADB, AEB равны, потому что опираются на одну дугу АВ.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
И обратно, если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр.
Треугольники AOH и BOH равны.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Если две окружности имеют только одну общую точку, то они называются касающимися друг друга в этой точке.
Точка касания двух касающихся окружностей принадлежит прямой, которая проходит через центры этих окружностей.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Отношение длины любой окружности L к ее диаметру D = 2R есть величина постоянная.
L/2R = π
Число π ≈ 3,1415926535897932384626433832795. — иррациональное и в десятичном виде представляет собой бесконечную непериодическую дробь.
Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.
Круговым сегментомназывается часть круга, заключённая между дугой окружности и её хордой.
Одна и та же хорда окружности может быть границей разных сегментов.
Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора.
Длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мера дуги относится к градусной мере окружности.
Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла.
Чтобы найти площадь сегмента нужно соединить концы хорды с центром окружности и рассмотреть получившиеся сектор и треугольник.
Если сегмент меньше полукруга, то его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника.
Если сегмент больше полукруга, то его площадь равна площади сектора плюс площадь треугольника.
Именная карта банка для детей с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Центральный угол и градусная мера дуги
Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:
Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.
Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.
Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.
Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:
Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:
Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.
Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:
Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:
Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.
Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:
Задание. Точки А, В, С иD лежат на одной окруж-ти. Известно, что⋃АСВ составляет 107°. Какова величина⋃ADB?
Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:
Задание. Найдите величину∠АОС на рисунке, если известны⋃AВ и⋃ВС:
Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:
Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:
В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда
∠COD = ∠AOB
Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.
Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.
Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.
Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:
⋃AВ = ⋃BC = ⋃AC = 360°:3 = 120°
∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.
Вписанный угол
В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.
Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.
Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:
∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать
∠СОВ = ∠OCA = ∠OAC = α + α = 2α
Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:
Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.
Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:
В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:
Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:
Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:
Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.
Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:
Задание. Найдите вписанный∠AВС, сели прилегающие к нему дуги⋃AВ и⋃ВС равны 100° и 128°.
Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:
Задание. Найдите дугу⋃SM на рисунке:
Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:
⋃NM = 2*∠NSM = 2*35° = 70°
Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:
Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.
Задание. Найдите∠АСD на рисунке:
Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:
∠ACD = ∠ABD = 63°
Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.
Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:
∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.
Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:
Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?
Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:
Задание. Окруж-ть разбита на две дуги,⋃AВС и⋃СDA. Известно, что∠AВС = 72°. Найдите∠ADC.
Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:
Углы между хордами и секущими
До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.
Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?
Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:
Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:
Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.
Задание. Найдите∠МКВ на рисунке:
Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:
∠MKB = (42° + 38°)/2 = 80°/2 = 40°
В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:
Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:
Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:
В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.
Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если⋃AВ и⋃СD соответственно равны 42° и 130°:
Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:
Теорема о произведении отрезков хорд
Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:
На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).
Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:
Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:
В результате нам удалось доказать следующее утверждение:
Задание. Хорды AВ иCDпересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?
Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:
Подставим в это равенство известные величины
Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:
Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:
Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:
Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:
В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.
Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.
Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:
Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:
Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:
Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:
Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:
Задачи на квадратной решетке
Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.
Задание. Найдите∠AВС на рисунке:
Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.
Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда
Задание. Найдите∠AВС, используя рисунок:
Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.
Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:
Задание. Вычислите∠AВС:
Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):
Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.
Задание. Чему равен∠AВС на рисунке?
Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.
∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.
ALB и 
